云溪区一中蒋炎林（教学设计）.docVIP

3.4.1基本不等式 教材分析 本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续的学习奠定基础。 要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。 的证明过程及应用。 难点：1、基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）； 2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。 教法分析 本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究；启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。以现代信息技术多媒体课件作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。 教学准备 多媒体课件、板书 教学过程 教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。 具体过程安排如下： 创设情景，提出问题； 设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实．基于此,设置如下情境: 上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。 [问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？ 本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式。在此基础上，引导学生认识基本不等式。 二、抽象归纳： 一般地，对于任意实数a,b，有，当且仅当a＝b时，等号成立。 [问] 你能给出它的证明吗？ 学生在黑板上板书。 特别地，当a0,b0时，在不等式中，以、分别代替a、b，得到什么？ 设计依据：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了基本不等式不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础. 答案： 。 【归纳总结】 如果a,b都是正数，那么，当且仅当a=b时，等号成立。 我们称此不等式为基本不等式。 其中称为a,b的算术平均数，称为a,b的几何平均数。 三、理解升华： 1、文字语言叙述： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 2、联想数列的知识理解基本不等式 已知a,b是正数，A是a,b的等差中项，G是a,b的正的等比中项，A与G有无确定的大小关系？ 两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。 3、符号语言叙述： 若，则有，当且仅当a=b时，。 [问] 怎样理解“当且仅当”？（学生小组讨论，交流看法，师生总结） “当且仅当a=b时，等号成立”的含义是： 当a=b时，取等号，即； 仅当a=b时，取等号，即。 4、探究基本不等式证明方法： [问] 如何证明基本不等式？ （意图在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华，前面是从几何图形中的面积关系获得不等式的，下面用代数的思想，利用不等式的性质直接推导这个不等式。） 方法一：作差比较或由展开证明。 方法二：分析法（完成课本填空） 设计依据：课本是学生了解世界的窗口和工具，所以，课本必须成为学生赖以学会学习的文本.在教学中要让学生学会认真看书、用心思考，养成讲讲议议、动手动笔、仔细观察、用心体会的好习惯，真正学会读“数学书”。 要证 ① 只要证 ② 要证②,只要证 ③ 要证③,只要证 ④ 显然, ④是成立的。当且仅当a=b时, ④中的等号成立 。 点评：证明方法叫做分析法,实际上是寻找结论的充分条件,执果索因的一种思维方法. 5、探究基本不等式的几何意义：（可不讲） 借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生探究不等式的几何解释，通过数形结合，赋予不等式几何直观。进一步领悟不等式中等号成立的条件。 如图：AB是圆的直径，点C是AB上一点，CD⊥AB，AC=a,CB=b， 几何解释实质可认为是：在同一半圆中，半径不小于半弦（直径是最长的弦）；或者认为是，直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高。 四、探究归纳 下列命题中正确的是 ①对于任意实数a,b，均有； ②当时，由于，当且仅当时，即x=1时，等号成立。所以函数的最小值为2； ③当时，有；所以函数在的最小值为4。 以上命题均是根据基本不等式的使用条件中的难点和关键处设置的，目的是利用学生原有的平面几何知识，进一步领悟到不等式成立的条件，及当且仅当时，