【创新方案】(浙江专版)205届高考数学一轮复习 第九章 第一节 变化率与导数、导数的计算突破热点题型 文【创新方案】(浙江专版)201.docVIP

第节　变化率与导数、导数的计算 考点一 导数的计算 　 [例1]　求下列函数的导数： (1)y＝(1－)；(2)y＝； (3)y＝tan x；(4)y＝3xex－2x＋e； (5)y＝. [自主解答]　(1)y＝(1－)＝－＝x－－x， y′＝(x－)′－(x)′＝－x－－x－. (2)y′＝′＝＝＝. (3)y′＝′＝＝＝. (4)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3x(ln 3)·ex＋3xex－2xln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2. (5)y′＝ ＝＝. 若将本例(3)中“tan x”改为“sin ”，应如何求解？ 解：y＝sin ＝－sin cos ＝－sin x，y′＝－cos x．　　　　　 导数的计算方法 (1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导． (2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导． (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导． (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导． (5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导． (6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导． 求下列函数的导数： (1)y＝；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(3)y＝＋；(4)y＝；(5)y＝＋e2x. 解：(1)y＝＝x－＋x3＋， y′＝(x－)′＋(x3)′＋(x－2sin x)′＝－x－＋3x2－2x－3sin x＋x－2cos x. (2)y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，y′＝3x2＋12x＋11. (3)y＝＋＝，y′＝′＝＝. (4)y＝＝cos x－sin x，y′＝－sin x－cos x. (5)y′＝(3－x)－(3－x)′＋e2x(2x)′＝－(3－x)－＋2e2x. [例2]　(1)已知函数f(x)的导函数f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝(　　) A．－e B．－1 C．1 D．e (2)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝(　　) A．26 B．29 C．212 D．215 (3)(2013·江西高考)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________. [自主解答]　(1)f(x)＝2xf′(1)＋ln x，f′(x)＝′＋(ln x)′＝2f′(1)＋， f′(1)＝2f′(1)＋1，即f′(1)＝－1. (2)因为f′(x)＝x′·＋′·x＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)…(0－a8)＋0＝a1a2…a8.因为数列{an}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝212. (3)令t＝ex，故x＝ln t，所以f(t)＝ln t＋t，即f(x)＝ln x＋x，所以f′(x)＝＋1，所以f′(1)＝2. [答案]　(1)B　(2)C　(3)2 导数运算的两个技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数． (2)在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，记准公式，预防犯运算错误． 1．若函数f(x)＝cos x＋2xf′，则f与f的大小关系是(　　) A．f＝f　　　　B．ff C．ff D．不确定 解析：选C　依题意得f′(x)＝－sin x＋2f′，f′＝－sin ＋2f′， f′＝.f(x)＝cos x＋x，即f＝cos ＋＝＋，f＝cos－＝－， ff. 2．(2014·台州模拟)已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，nN*，则f2 014(x)等于(　　) A．－sin x－cos x B．sin x－cos x C．－sin x＋cos x D．sin x＋cos x 解析：选C　f1(x)＝sin x＋cos x，f2(x)＝f1′(x)＝(sin x＋cos x)′＝cos x－sin x， f3(x)＝f2′(x)＝(cos x－sin x)′＝－sin x－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝sin x－cos x， f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x.故fn(x)是以4为周期的周期函数，又2 014＝503×4＋2， f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x＋cos x. 考点二导数的几何意义