定积分典型例题定积分典型例题.docVIP

定积分典型例题 例1 求． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间等分，则每个小区间长为，然后把的一个因子乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 ==． 例2 =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，等于上半圆周 () 与轴所围成的图形的面积．故=． 例18 计算． 分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分． 解 ＝＝＝． 注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 ，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数在处间断且在被积区间内无界. 例19 计算． 分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数 ． 解 例20 设是连续函数，且，则． 分析 本题只需要注意到定积分是常数（为常数）． 解 因连续，必可积，从而是常数，记，则 ，且． 所以 ，即， 从而，所以 ． 例21 设，，，求, 并讨论的连续性． 分析 由于是分段函数, 故对也要分段讨论． 解 （1）求的表达式． 的定义域为．当时，, 因此 ． 当时，, 因此, 则 ==， 故 ． (2) 在及上连续, 在处，由于 , , ． 因此, 在处连续, 从而在上连xu 例22 计算． 分析 由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性． 解 =．由于是偶函数，而是奇函数，有, 于是 === 由定积分的几何意义可知, 故 ． 例23 计算． 分析 被积函数中含有及，考虑凑微分． 解 === ==． 例24 计算． 解 == = == 例26 计算，其中． 解法1 令，则 =． 注 如果先计算不定积分，再利用牛顿莱布尼兹公式求解,则比较复杂，由此可看出定积分与不定积分的差别之一． 例27 计算． 分析 被积函数中含有根式，不易直接求原函数，考虑作适当变换去掉根式． 解 设，，，则 = ． 例29 计算． 分析 被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法． 解 ． 例30 计算． 分析 被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法． 解 == = ． 例31 计算． 分析 被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法． 解 由于 ， 　　　　　　　　　 （1） 而 ， （2） 将（2）式代入（1）式可得 , 故 ． 例32　计算． 分析 被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法． 解 ．　　　　　　　　　　　　　　（1） 令，则 ． （2） 将（2）式代入（1）式中得 ． 例33 设在上具有二阶连续导数，且，求． 分析 被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解． 解 由于 ． 故 ． ， 例35（00研） 设函数在上连续，且 ，． 试证在内至少存在两个不同的点使得． 分析 本题有两种证法：一是运用罗尔定理，需要构造函数，找出 的三个零点，由已知条件易知，，为的两个零点，第三个零点的存在性是本题的难点．另一种方法是利用函数的单调性，用反证法证明在之间存在两个零点． 证法1 令，则有．又 ， 由积分中值定理知，必有，使得 =． 故．又当，故必有． 于是在区间上对分别应用罗尔定理，知至少存在 ，， 使得 ，即． 例36 计算． 分析 该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算． 解 == == =． 例37 计算． 解 ． 例38 计算． 分析 该积分为无界函数的反常积分，且有两个瑕点，于是由定义，当且仅当 和均收敛时，原反常积分才是收敛的． 解 由于 == ==． == ==． 所以 ． 例39 计算． 分析 此题为混合型反常积分，积分上限为，下限为被积函数的瑕点． 解 令，则有 ＝＝， 再令，于是可得 ＝＝＝ ＝＝ ＝ ＝＝． 例40 计算． 解 由于 ， 可令，则当时，；当时，；当时，；当时，；故有 ． 注 有些反常积分通过换元可以变成非反常积分，如例32、例37、例39；而有些