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第6章 积分法 一、不定积分的性质 (1) 两个函数和的不定积分等于两个不定积分的和,即 (2) 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分号的外面来,即 二、不定积分的基本积分法 (一) 基本积分法 (1) 第一类换元积分法(凑微分法) 若 ,则 ,其中 是 的任一可微函数,而 是任意常数. (2) 第二换元积分法 设 及 均连续, 的反函数 存在且连续,若 ,则 ,其中 是任意常数. (3) 分部积分法 (二) 可积函数类 (1) 有理函数的积分 两个多项式的商所表示的函数称为有理函数,通常可记为 ,其中 都是 的多项式.有理函数的积分可归结为多项式与有理真分式的积分.据代数学的知识,有理真分式总可分解为部分分式.设有理真分式 ,其中 可在实数范围内因式分解成 , 其中 都是正整数,则有下列分解式: , 其中 均为待定常数. 有理真分式经分解为部分分式后,其积分 实质上可归结为下列四种类型的积分: ① , ② ③ , ④ 其中每一个都可积出.因此有结论:有理函数的原函数必定可由初等函数表出,或有理函数的积分必定可被积出. (2) 三角函数有理式的积分 三角函数有理式是指 .经万能代换 可化为以 作为积分变量的有理函数的积分,有 . (3) 简单无理函数的积分 经适当的变量代换,使之化为有理函数的积分. 令 ,可把原积分化为 令 ,可把原积分化为 二、定积分的基本积分法 (1) 公式法 求得被积函数的一个原函数,利用牛顿-莱布尼兹公式直接计算之. (2) 定积分的第一类换元积分法(凑微分法) . (3) 定积分的第二类换元积分法 设 在 上连续,若代换 满足 在闭区间 (或 )上有连续导数 ; 当 (或 )时,必有 ; ,则 . (4) 定积分的分部积分法 设 在 上有连续导数,则 三、定积分的数值计算法 将区间 分为 等分 ,记 (1) 矩形法 左矩形公式 右矩形公式 (2) 梯形法 (3) 抛物线法(辛普森法) 这里的 必须为偶数 四、定积分中的常用命题和公式 (1) 对称区间上连续奇函数的积分为零,即若 是 上的连续奇函数,则 . (2) 对称区间上连续偶函数的积分为半个区间上积分的两倍, 即若 是 上的连续偶函数,则 . (3) 若 是周期为 的连续函数,则对于任意实数 ,均成立 . (4) (其中 为正整数) 复习指导： 第6章 积分法 一、不定积分 1.基本积分法 (1).第一类换元积分法(凑微分法) 其特点是”凑好了换”,把被积函数分出一部分写成 ,而余下部分恰好是 的函数 ,即 ,然后取变换:令 .一般情况下可以考虑的积分类型有: 等等 (2) 第二类换元积分法 其包含的主要类型有三角代换与倒代换.一般情况下可以考虑的积分类型有: 令 令 令 若被积函数中含有无理函数 的形式,则可先配方,然后选择适当的三角代换.另外,倒代换 常可消去被积函数分母中的积分变量因子. (3) 分部积分法 分部积分法主要用于被积函数为两类不同函数相乘的情形,常见的有以下的积分类型:若计算不定积分 ,而其中的被积函数 当 =多项式 正弦(余弦)函数时,可取 =多项式; 当 =多项式 指数函数时,可取 =多项式; 当 =多项式 对数函数时,可取 =对数函数; 当 =多项式 反三角函数时,可取 =反三角函数. 2 可积函数类 (1) 有理函数的积分 有理函数积分的主要步骤在于将被积函数分解为部分分式.不过对于具体的有理函数积分,通常可用”拆”,”凑”或”加一项再减一项”的方法. (2) 三角函数有理式的积分 万能代换 可能会导致复杂的有理函数的积分.故对于三角函数有理式的积分 ,有时也采用下列变换: 当 时,可令 ; 当 时,可令 ; 当 时,可令 . 二、 定积分 关于定积分的换元积分法. 变量代换必须要满足定理的条件.如对于定积分 ,作代换 ,由于 在 处不连续,故换元不成立;再如对于定积分 ,作代换 ,因为此代换不是单值的,故换元也不成立.在利用换元积分法计算定积分时,有一定的技巧,如下例. 例 : 计算定积分 . 解 : 原式= 利用变量代换 , . 原式= .