华南理工大学微积分下21华南理工大学微积分下21.docVIP

一、二重积分（引例：求平面薄片的质量）基本计算思路：把二重积分化为二次积分（定积分）基本计算的两个步骤：1）定限；2）定积分的计算基本计算方法：1）在直角坐标下的计算方法：型区域、型区域；2）在极坐标下的计算方法：注意被积函数要乘一个。其他知识点：改变积分的次序二重积分的应用：曲面的面积为，其中为在面上的投影区域。例1：解：原式例2：交换下列二次积分的次序 。 二、三重积分（引例：求空间立体的质量）基本计算思路：把三重积分化为三次积分（定积分）基本计算的两个步骤：1）定限；2）定积分的计算基本计算方法：1）投影法；2）切片法；3）柱面坐标下计算法；4）球面坐标下计算法例3：计算三重积分，式中为由所确定的圆台体。解：方法一、用截面法：  方法二、用球面坐标：  三、关于弧长的曲线积分（引例：求曲线弧状物体的质量）基本计算思路：把曲线积分化为定积分基本计算的两个步骤：1）化积分曲线为参数方程并确定参数取值范围，注意定积分的下限总小于上限；2）定积分的计算注意选取适当的参数以简化定积分的计算。例4：计算，其中为球面与平面的交线。 解： 原式 四、关于坐标的曲线积分（引例：变力对沿曲线运动的物体所做的功）基本计算思路：把曲线积分化为定积分基本计算的两个步骤：1）化积分曲线为参数方程并确定参数取值范围，注意起点对应的参数是定积分的下限终点对应的参数是定积分上限；2）定积分的计算注意选取适当的参数以简化定积分的计算。例5：计算曲线积分，其中为由点沿抛物线到点，再沿轴到点的弧段。 解：原式 其他知识点：格林公式、积分与路径无关（四个等价条件）、势函数、两类曲线积分的联系例6：求，使得曲线积分在整个面上与积分路径无关，并计算。解： 所以 五、关于面积的曲面积分（引例：曲面状物体的质量）基本计算思路：把曲面积分化为二重积分基本计算的两个步骤：1）选择适当的投影坐标面，无妨设选择了面，确定曲面在面上的投影区域为，曲面的方程化为，2）二重积分的计算例7：，其中为立体的边界曲面。 解：原式 其中，在面上的投影都为 圆盘 上式 六、关于坐标的曲面积分（引例：不可压缩流体流过某曲面单位时间的流量）基本计算思路：把曲面积分化为二重积分基本计算的两个步骤：1）把曲面向指定坐标面投影，无妨设指定了面，确定曲面在面上的投影区域为，曲面的方程化为，注意曲面指定的侧2）二重积分的计算例8：计算曲面积分，其中为旋抛物面下侧介于平面及之间部分。 解：原式 这里用换元法计算定积分，（令）及的计算公式。其他知识点：两类曲面积分的关系、高斯公式、斯托克斯公式；了解散度、通量、环流量、旋度的概念。例9：，其中是曲线绕轴旋转所得旋转面的上侧。 解：此曲面方程为，化为第一型曲面积分计算 取定侧对应法向量 原式