第一章20140901.docVIP

§2 数值计算的误差 3．有效数字 定义：如果的误差绝对值不超过某一个数字的半个单位，且该数字到的第一位非零数字共有位，则称用近似时具有位有效数字，简称有位有效数字。 等价定义： 将表达为 其中是某个整数，为中的数字，并且。则 恰有位有效数字 定理 设是的近似值，则的有效数字与的相对误差之间有如下关系： （1）若具有位有效数字，则的相对误差满足 （2）若的相对误差满足 则至少有位有效数字。 三、数值运算的误差估计 1．一元函数的误差界 2．多元函数的误差界 特别（右边的估计是最坏情况下） §3 误差定性分析与避免误差危害 1．算法的数值稳定性 定义3 一个算法如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入误差是可控制的，则称此算法是数值稳定的；否则称此算法为不稳定的。 2．病态问题与条件数 对于一个数值问题，如果输入数据有微小的扰动，就可能引起输出数据相对误差很大，该问题就称为病态问题。 函数在的条件数为 当很大时，计算的函数值问题是病态的。 3．避免误差危害的若干原则 （1）避免两个相近数相减（代数和接近0）。 因两数之差的相对误差为 ， 当与很接近时，分母绝对值很小，可能导致很大，特别是和异号的情况。 某些情况可以避免。办法：等价变换。 例：, 如用四位有效数字计算: , 结果只有一位有效数字; 如改为: , 有四位有效数字。新算法避免了两个相近数的相减。 例:用四位浮点数计算。 解: 只有一位有效数字,有效数字大量损失,造成相对误差扩大。 结果仍然有四位有效数字。 （2）避免除数绝对值相对于被除数太小。 , 当时,舍入误差会扩大。某些情况可通过改变运算次序避免。 （3）避免两个绝对值相差很大的数相加减（大吃小，丧失有效数字的位数）。 例: 一元二次方程 其精确解为。 如用求根公式: 并取8位字长,有 ，，从而 , 。 的值与精确解差别很大。若用 。 因此,算法的选用很重要。 （4）尽可能减少运算步骤（减少误差积累）。 例: 计算的值 如果逐个相乘要用254次乘法。若 只需14次乘法。 例: 计算多项式的值: 如若按有次乘法运算,计算共需 次乘法和次加法运算。 如写成（秦九韶，公元1202-1261） , 用递推算法: , 最终,共需次乘法和次加法运算。 （5）算法或公式要数值稳定。 略。 思考题：判断下列命题的正确性 解对数据的微小变化高度敏感是病态的。 答：错误。解对数据的微小变化高度敏感，可能问题是病态的，也可能算法数值不稳定。 高精度运算可以改善问题的病态性。 答：错误。问题是否病态是问题本身决定的。正确的说法是“高精度运算可以改善（提高）病态问题解的精度”。 （3）无论问题是否病态，只要算法数值稳定都能得到好的近似值。 答：错误。计算精度低时（譬如单精度），仍可能误差较大。 用一个稳定的算法计算良态问题一定会得到好的近似值。 答：错误。计算精度低时（譬如单精度），仍可能误差较大。 用一个收敛的迭代法计算良态问题一定会得到好的近似解。 答：错误。需要算法数值稳定。 （6）两个相近数相减必然会使有效数字损失。 答：错误。适当的等价变换后，可能不损失有效数字。 （7）计算机上将1000个数量级不同的数相加，不管次序如何结果都一样的。 答：错误。两个相近数相加、或数量级差别很大的数相加，都可能造成结果不准确。 是否两个近似值与精确值的误差的绝对值相等，其有效数字的位数就相等？ 否！ 例：设，它有两个近似值 因为 所以有3位有效数字； 所以有4位有效数字。 上述例子说明绝对误差与有效数字的位数没有直接的关系。 例题：已知是积分的近似值，并且有四位有效数字，则的绝对误差限——。 解：根据积分中值定理，有 因此， 又具有4位有效数字，所以 ，（） 并且与的绝对误差的绝对值不超过小数点后第4位的半个单位。 因此的绝对误差限 。 习题8．当时计算有效数字位数会损失。改用是否就能减少舍入误差？（提示：考虑对数函数何时出现病态）。 解 当时，。现讨论在附近的条件数情况。 该条件数在附近接近，因此输入数据的微小误差可以引起输出数据很大的误差。所以改用不能减少舍入误差。 实践中，这样计算 。 例题 对于的情况，从舍入误差传播的角度，指出下述两个Matlab程序哪一个计算是数值稳定的，并说明理由． % Algorithm 1 if x==0 f=1; else f=(exp(x)-1)/x; end % Algo