ケプラー楕円軌道の解析 本文隆 崎工業高等学校.pptVIP

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ケプラー楕円軌道の解析日本数学協会年会発表日時：２０１０／８／２２　　於：東大駒場山本文隆長崎工業高等学校 １．要旨１ 　　　惑星楕円運動の実速度ベクトルは動径垂直方向の速さ一定の回転ベクトルと短径方向の定速度ベクトルに分けられ、その長さの比は常に 　　　　　　　　　　　１　：　ｅ　（離心率） 　　　動径方向の成分は、面積速度を同じにする等速円運動（基本円運動）の回転速度と同じ 　　楕円運動のホドグラフは、基本円運動と同じ円形 演示 実速度ベクトル　Ｖ 動径垂直方向の速さ一定の回転ベクトル　Ｕ 短径方向の定速度ベクトル　ｖ 　　Ｕ　：　ｖ　＝　１　：　ｅ 　　　　　　　　　　１ 動径　ｒ＝ーーーーーーーＲ 　　　　　　　１ － ｅ ｃｏｓ θ 　Ｒ：円運動半径　　 　θ：惑星方向 　　（遠日点方向からの角） 　　　　　　　　　　　　　演示 ２．中心力系という考え方 中心力系でＶを動径方向Ｖｒ、動径垂直方向Ｖ⊥に分ける 　　　　　　　　　↑　↓ 地上の斜方投上を 　　重力が働く垂直成分（加速度運動）と、 　　重力に影響を受けない水平成分（慣性運動）に分解。 演示 水平投出と斜め投上、円と楕円 ケプラーの法則に質量は不必要 演示 ３．面積速度一定の法則　中心力系 演示 ４．面積速度を保つ変形 　面積速度は中心力のみに関係して保たれている 　→運動物体を中心力方向(正負含め)に加速（速度増加）させても同じく面積速度は保たれる 　ｒ　Ｖ⊥ 　　＝ 　Ｒ　Ｕ Ｒ：通径 Ｕ：通径 でのＶ⊥ 面積速度を保つ楕円変形 微小時刻間隔毎の撃力による ケプラー表記　　通径(基本円) 表記　　　　 （１－ｅ２）ａ　　　　　 　 Ｒ　 ｒ＝――――――― ＝ ――――――― 　 １－ｅｃｏｓθ　　　 １－ｅｃｏｓθ 　　　ｃ→ｆ→ｄ＝Ｒ＋√Ｒ２＋４ａ２ｅ２＝２ａ より 　長　　径　　　　　　　　　　短　　径 　　　　　　　Ｒ 　　 　 　　　　Ｒ ａ　＝――――― ｂ　＝――――― 　　　　 　１－ｅ２ 　　 　　　　√１－ｅ２ 　α＝√１－ｅ２　γ＝１／α　として 長径　γ２Ｒ、　　短径γＲ、　通径　Ｒ 焦点から中心までの距離　γ２ｅＲ 　　　　　 Ｒ　　　　　　　　　 Ｒ 遠日点距離　―――　近日点距離　――― 　　　　　１－ｅ　　　　　　　 １＋ｅ ５．楕円運動の解析 通径Ｒで　Ｖ⊥＝Ｕであるから　　　 ｒ　Ｖ⊥＝　Ｒ　Ｕ Ｖ⊥ ＝ Ｕ（１－ｅｃｏｓθ） 　 　 Ｒ　 　ｒ＝ ―――――――― 　　 １－ｅｃｏｓθ 　∠ｏａｃ 　θ２－θ１ ∠ｏａｂ＝――――＝―――――（＝●） 　 　２　　　　　 　 ２ θ２-θ１ θ２＋θ１ ∠ａｂｃ＝―――+θ１＝――――（＝○） ２ 　 　２ Ｖｒ＝の導出 　　　　　　 θ２-θ１ Ｖｒ＝Ｖ⊥ｔａｎ――― 　　　　　　　　　２ 　　　　　 Ｒ 　　　　Ｒ ―――――――＋―――――――＝２γ２Ｒ 　　 １－ｅｃｏｓθ１ 　　１＋ｅｃｏｓθ２ 　　　 　　　　（１＋ｅ２）ｃｏｓθ１－２ｅ 　　ｃｏｓθ２＝　――――――――――――― 　 　　　　　　１－２ｅｃｏｓθ１＋ｅ２ 従って 　　　 　　　　　　（１－ｅ２）ｓｉｎθ１ 　　ｓｉｎθ２　＝　───────────── 　　 　　　　　１＋ｅ２－２ｅｃｏｓθ１ 　　　　θ２＋θ１ 　　　 ｓｉｎθ１ 　ｔａｎ────　＝　─────── 　 　 ２ 　　　 ｃｏｓθ１－ｅ 　　 θ２－θ１ 　　　 ｅ ｓｉｎθ１ ｔａｎ────　＝　──────── ２ １－ｅｃｏｓθ１