复旦大学 经济学院 谢识予 计量经济学 第一章 一般多元线性回归模型复旦大学 经济学院 谢识予 计量经济学 第一章 一般多元线性回归模型.docVIP

第一章 一般多元线性回归模型 金融理论从资本资产定价模型(CAPM)发展到套利定价理论(APT)，在数理统计方面就是从应用一元线性回归发展到应用多元线性回归。本章先介绍推导套利定价理论，以实例说明套利过程，引入多元线性回归模型，随之介绍一般多元线性回归模型的参数估计、假设检验等基本原理。然后本章深入讨论多元线性回归模型一些特别情况及解决办法，如自变量选择准则与逐步回归，自变量变换与多项式回归等。本章的凸集间交互投影的迭代算法求线性模型的最小二乘通解，在数学上有一定特色。本书软件与各节算例配套，键入资料即可自动完成回归，使用者不看各节的数学推导也没有关系。资料变换回归特意设了差分变换，软件还能自动显示多元线性回归二维拟合效果图及多元多项式回归的三维立体直观图，给实际工作尽量带来方便。 第一节 多因素定价模型(MPM)与套利定价理论(APT) 在引言里我们介绍了资本资产定价模型CAPM，从统计学角度它是属于一元线性回归。它的基本方程有两个。回归方程 （0.1.22） 假定证券i的收益率ri与市场组合收益率rM之间存在线性关系，据此可以测定系数βi。资本市场线方程(参看图0.1.2.3)： （0.1.20） 告诉我们合理的证券投资组合应选在该线上，使得风险相同的情况下能获得较高的收益。 CAPM有两个局限性，一是经济假设条件较多，二是它只考虑了一个自变量。Ross (1976)发展了CAPM，考虑证券i的收益率与几个因素之间的线性关系，建立了多因素定价模型MPM(Multifactor Pricing Model)，形成了套利定价理论APT(Arbitrage Pricing Theory)。从统计学角度看，也就是从应用一元线性回归发展到应用多元线性回归。 APT假定证券i的收益率ri与k个因素Fj, j=1，…，k存在线性关系 （1.1.1） 这里因素Fj, j=1,…,k的均值为0，共同作用于各个证券，εi是均值为0的白噪声随机扰动项。显见上式是(0.1.20)的推广。APT的经济假定要求存在公平竞争且无摩擦的资本市场；个人投资倾向的共同偏好在(1.1.1)前提下与CAPM相同：相同风险时偏好收益大的，收益大时偏好风险小的；证券个数n(i=1,…,n)比因素个数k要大得多；非系统风险项εi与其它因素及误差都是独立的；在给定时刻被考虑的资产总和是不变的(有人赚，有人赔，赚赔相等)；如果有价证券的风险为0，则其收益为0。 套利定价理论APT将教给我们如何在上述假定条件下获得超额收益。假定在i=1,…，n个证券间进行买进卖出。某投资者拥有的第i个证券的价值数量(单位元)改变量为ωi(ωi=0表示不进不出，ωi0表示买进证券i,ωi0表示卖出证券i)。由于该时刻他的资产总和不变，买进量等于卖出量，必有 （1.1.2） 这样他的证券投资组合获利数为 （1.1.3） 为了尽量消除系统风险与非系统风险，操作ωi时应该选取 ωi≈1/n （1.1.4） （1.1.5） 由概率论的大数定律知，当n→∞时，将收敛于它们的均值0，这样非系统风险项基本可以忽略不计了。式(1.1.2)与(1.1.5)从代数学角度讲是一组正交条件，这样的ωi是可以构造出来的。于是有 （1.1.6） 但是我们知道无风险的证券组合收益应为0，于是(1.1.6)为0，这意味着选择的ωi还应满足一个正交条件： （1.1.7) 由于ωi已满足正交条件(1.1.2)与(1.1.5)，所以只要E(ri)是这k+1个正交向量的线性组合就可以了： （1.1.8） 由于bij,j=1,…，k是第i个证券对于第j个因素的敏感度量，考虑到无风险收益，显然有 λ0 = rF （1.1.9） 于是我们可将(1.1.8)写成超额收益形式 （1.1.10） 它正是CAPM下资本市场线方程(0.1.20)的推广。(1.1.10)就是套利定价定理APT的数学表述。当只取一个自变量bik时，(1.1.10)可以图标如下： 图1.1.1.1 在均衡状态下，所有的资产都必定落在套利定价线上。因为套利定价关系是线性的，所以我们可以将直线方程写成斜截式 （1.1.11） （1.1.12） 这里对第k个因素敏感度为1个单位，而对其余因素敏感度为0，而λk可以视作对承担风险的奖励。在一般情况下，(1.1.10)可写作 （1.1.13） 比较(0.1.20)，可以清楚它各个参数的经济含义，并且确信APT是CAPM的推广。 若将(1.1.13)视作回归方程，则 （1.1.14） 这