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数学实验 实验三 求代数方程的近似根(解) 问题背景和实验目的 相关概念 对分法 对分法 对分法收敛性 迭代法 迭代法的收敛性 迭代法收敛性判断 迭代法收敛性判断 迭代法收敛性判断 迭代法的加速 松弛迭代法 Altken 迭代法 Altken 迭代法 牛顿迭代法 牛顿法迭代公式 牛顿法迭代公式 Matlab 解方程函数 其他 Matlab 相关函数 上机作业 * * Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 实验三、近似求解代数方程 解方程（代数方程）是最常见的数学问题之一，也是众多应用领域中不可避免的问题之一。 目前还没有一般的解析方法来求解非线性方程，但如果在任意给定的精度下，能够解出方程的近似解，则可以认为求解问题已基本解决，至少可以满足实际需要。 本实验主要介绍一些有效的求解方程的数值方法：对分法，迭代法 和 牛顿法。同时要求大家学会如何利用Matlab 来求方程的近似解。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 如果 f(x) 是一次多项式，称上面的方程为线性方程；否则称之为非线性方程。 线性方程 与 非线性方程 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 基本思想 将有根区间进行对分，判断出解在某个分段内，然后再对该段对分，依次类推，直到满足给定的精度为止。 适用范围 求有根区间内的 单根 或 奇重实根。 数学原理：介值定理 设 f(x) 在 [a, b] 上连续，且 f(a) f(b)0，则由介值定理可得，在 (a, b) 内至少存在一点 ? 使得 f(?)=0。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 具体步骤 设方程在区间 [a,b] 内连续，且 f(a)f(b)0，给定精度要求 ? ，若有 |f(x)|? ，则 x 就是我们所需要的 f(x) 在区间 (a,b) 内的 近似根。 ... ... Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 收敛性分析 设方程的根为 x* ? (ak , bk ) ，又 ，所以 0(k ?) 对分法总是收敛的 但对分法的收敛速度较慢 通常用来试探实根的分布区间， 或给出根的一个较为粗糙的近似。 根据上面的算法，我们可以得到一个每次缩小一半的区间序列 {[ak , bk ]} ，在 (ak , bk ) 中含有方程的根。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 基本思想 构造 f (x) = 0 的一个等价方程： 从某个近似根 x0 出发，计算 得到一个迭代序列 k = 0, 1, 2, ... ... ? (x) 的不动点 f (x) = 0 x = ? (x) 等价变换 f (x) 的零点 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 若 收敛，即 ，假设 ?(x) 连续，则 收敛性分析 即 注：若得到的点列发散，则迭代法失效！ Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile