《glj-chapter2 代数系统.pptVIP

第二章 代数系统 本章基本内容 二元运算及其性质 一元运算和二元运算定义； 二元运算的结合律:交换律，结合律，幂等律，分配律，吸收律，消去律； 二元运算的特殊元素：单位元(幺元)，零元，逆元； 一元运算和二元运算的运算表。 代数系统 代数系统；子代数系统； 第一节 二元运算及其性质 验证运算是否为二元运算 验证一个运算是否为集合S上的二元运算主要考虑两点： S中任何两个元素都可以进行这种运算，且运算结果是唯一的。 S中任何两个元素的运算结果都属于S，即S对该运算封闭。 例8 幂集P(S)上的?和?满足吸收律 ?A, B?P(S) A ?(A ? B)=A A ?(A ? B)=A 幂集P(S)上的对称差运算?的单位元是? 幂集P(S)上的相对补运算–没有单位元，但是有右单位元是? ?A?P(S) 定义：A?B=A – B A? ? = A – ?=A 恒等函数IA是关于函数复合运算的单位元。 单位元唯一性定理 零元唯一性定理 定理3 设 ? 是A上的二元运算，?, e?A, ?和e分别为?运算的零元和幺元，如果|A|1, 则?≠e. 证明 用反证法. 假设 ? = e, 则对任意 x?A, 有 x= e ? x = ? ? x = ? = e, 可见S中的所有元素都是相同的, 这与|A|1矛盾. 例14 在n阶实矩阵的集合Mn(R) 上， n阶全0矩阵是矩阵加法的单位元。 对任何n阶实矩阵M，-M是M的加法逆元 逆元的唯一性定理 例15 整数集合上的加法和乘法都满足消去律。 幂集P(S)上的?和?不满足消去律。 ?A, B，C?P(S) A ?B=A?C 不一定能得到B=C A={1,2}, B={2, 3}, C={1,3} A ?B=A?C={1,2,3}, B≠C 例16 幂集P(S)上的?满足消去律 ?运算不存在零元。 ?A, B，C?P(S) 有 A?B = A?C 则B=C B?A = C?A 则B=C P95, 例子6-15 实例：交换、结合、幂等律、消去律 实例：分配、吸收律 特异元素的实例 第二节　代数系统 定义：相同的构成成分 如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相同，且代数常数的个数也相同，则称这两个代数系统具有相同的构成成分。 积代数 定义(积代数 ) 设V1 =A,?和V2 =B,*为同类型的代数系统, ?和*为二元运算，在集合A×B上定义如下二元运算. : ? a1, b1, a2, b2∈A×B, 有 a1, b1. a2, b2 = a1?a2, b1*b2 称A×B, .为V1和V2的积代数, 记为V1×V2 =A×B, ·。 例9.9 设V1和V2分别为模3和模2加的代数系统，给出V1×V2的运算表，并说明它的运算是否具有交换律与结合律。 (p175) 定理9.5 设V1 =A,?, V2 =B,*是同类型的代数系统，V1×V2 = A×B, ·是它们的积代数. (1) 如果?和*是可交换(可结合、幂等)，那么 · 运算也是可交换(可结合、幂等)的； (2) 如果e1和e2(?1和?2)分别为?和*运算的单位元(零元)，那么e1, e2(?1,?2)也是· 运算单位元。 (3) 如果x和y分别为?和*运算的可逆元素，那么 x, y也是·运算的可逆元素，逆元是x-1, y-1。 证明 A×B上的运算 · 是可结合的 ? a1, b1, a2, b2, a3, b3∈A×B, 有(a1, b1 · a2, b2) · a3, b3 = a1?a2, b1*b2 · a3, b3 =(a1?a2)?a3, (b1*b2)*b3 =a1?(a2?a3), b1*(b2*b3) = a1, b1 · a2?a3, b2*b3 = a1, b1 ·( a2, b2· a3, b3) 第三节 代数系统的同态与同构 (Homomorphism Isomorphism) 主要内容：同态，同构； 重点：（1）同态的定义； （2）同构的定义； （3）单同态；满同态；同态像； 自同态 引言： 同态是两个代数系统间的一种联系，通过这种联系，可以把一个代数系统的运算转移到另一个代数系统.使得在一个代数系统中较难解决的问题转移到另一个代数系统中成为较易解决的问题. 例如，我们常用的对数，实际上，它就是正实数的乘法群到实数的加法群