《11.7特征值,对角化.pptVIP

* §11.7　矩阵的特征值 化Ｈ矩阵为对角形矩阵 特征值与特征向量 化Ｈ矩阵为对角形 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 　　工程中的一些问题，如振动问题和稳定性问题，常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题；而数学中诸如方阵的对角化，求线性变换的不变元素等问题也需要特征值和特征向量的概念． 　　而矩阵的对角化涉及到如何把一个二次型化成对角形，进一步化成标准形的问题，解析几何中的提法是：对二次曲线和二次曲面的一般方程通过一个坐标变换化成标准方程． Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 说明 一、特征值与特征向量 而且若x是特征向量，则乘以非零常数后仍是． Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 　　按代数基本定理，知对n阶方阵恰有n个特征值（重根按重数计）．特征值有时也叫特征根． Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 4.由特征多项式的定义可知： 若n阶方阵 的特征值为 则有 这两条性质都是将一元高次方程的根与系数的关系（即韦达定理）用于特征方程可证的，此处从略． 5.相似的矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同　的特征值． 按相似矩阵的定义，若矩阵Ｂ与矩阵Ａ相似，则存在可逆矩阵Ｘ，使 这是特征多项式的常数项 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 因此 既然相似矩阵有相同的特征多项式，故有 我们再次说明了相似矩阵有相同的迹． 下面我们谈一下特征值和特征向量的求法． 例１　求矩阵 的特征值和特征向量． Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解 矩阵Ａ的特征多项式 故Ａ的特征值为 特征向量是满足 的非零向量． 把 代入，知特征向量满足方程组 解得一组非零解 这是对应于特征值 的一个特征向量． 把 代入 得方程组 解得对应于 的一个特征向量 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例２ 解 得 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解得一个特征向量 由这两个例子可以看到，求解矩阵的特征问题是与解方程紧密联系的． 我们以几个常见的简单结论暂时将特征问题告一段落． １）若p是矩阵Ａ的特征向量，则kp也是． ２）属于不同特征值的特征向量是线性无关的． Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 二、Ｈ矩阵的对角化 本段要讨论的问题是如何把一个矩阵对角化． 由相似矩阵知，Ａ与Ｂ相似是指存在可逆矩阵Ｖ，使 或说对矩阵Ａ进行相似变换Ｖ变成Ｂ． 特别地，我们要讨论的是如何把矩阵Ａ经相似变换变为对角矩阵Ｂ，因为对角矩阵是最简单的矩阵． 下面的定理指出了n阶矩阵可对角化的条件及方法． 定理１ n阶方阵Ａ与对角阵相似的充分必要条件是Ａ有n个线性无关的特征向量． 而且 是对角阵时，Ｖ的n个列向量就是 Ａ的n个线性无关的特征向量