《第五章(更改).pptVIP

归纳定义法 1) 基本项 非空集 S0 ? A； 2) 归纳项 一组规则，从A中元素出发，依据这些规则 所获得的元素仍然是A中的元素； 3) 极小化： 保证 A中每个元素都可通过有限次使用1) 或2) 来获得。 如果集合 S ? A 也满足 1)和 2)，则 A ? S 。 （如果集合 S ? A 也满足 1)和 2)，则 S = A ） * 极小化保证 A 是满足 1) 和 2) 的最小集合。 §5.2 集合间的相等和包含关系 目标要求： 掌握集合相等（=）、包含（?）的定义。 掌握 ?、=、? 之间的联系与区别。 掌握空集的性质 重点难点： 集合间的相等与包含关系 空集的性质 证明集合相等 由外延性公理可知，对于任意集合A, B, C有 1. A = A 2. A = B ? B = A 3. A = B ∧ B = C ? A = C 例：若 A ?B，B ?C，则A ?C吗？(或 A ?C吗？) 解：都不成立。 例如：A = {1}, B = {{1}, 2}, C = { {{1},2}, 3} , 但 A ?C 。 当 A={1}, B={{1}}, C={{{1}}, {1}} 时, 但A ?C §5.3　幂集 例：A = {a, b, c} 则 A的 0 元子集： ? A的 1 元子集： {a}, {b}, {c} A的 2 元子集： {a, b}, {a, c}, {b, c} A的 3 元子集： {a, b, c} 则 A的幂集： ρ (A) = { ?, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} } 可见，若 x ∈ A , 则 { x }∈ ρ (A)， B ? A iff B∈ρ (A) 证：设A有n个元素，即#A=n, 则A的m元子集有Cnm个, 所以 A 共有 Cn 0 + Cn 1 + …… + Cn n 个子集 由二项式定理： （x+y)n = Cn 0 xn+ Cn 1 x n-1 y+ …… + Cn n yn 令x = y =1, 则 （1+1)n = Cn 0 +Cn 1 + …… +Cn n = 2 n 例. （1 ）求下列集合的幂集 ρ (?) = { ? } ρ ({?}) = { ?, {?} } ρ ({a,{a}})= {? , {a}, {{a}}, {a ,{ a}} } 总结 设A，B为任意两个集合，则有 i) ? ? ρ(A)； ii) A ? ρ(A)； iii) 若A ? B，则ρ(A) ? ρ(B)； iv) 若A ? B，则ρ(A) ? ρ(B)。 思考题 ρ ( B ) ? ρ ( C ) 的充分必要条件? 2) ρ ( B ) = ρ ( C ) 的充分必要条件? §5.4 集合的运算 重点：集合运算 及 运算性质 难点：证明 两个集合相等 证：根据抽象原则，对于任意 x x ∈ A－B ? x∈A∧x ? B （ － 定义） ? x∈A∧x∈~B （ ~ 定义 ） ? x∈A ∩ ~B （ ∩ 定义） 证：对任意x x∈A －（A ∩ B） ? x∈A ∧ x? A ∩ B ? x∈A ∧┐（x∈A ∧ x∈B ） ? x∈A ∧（x ? A ∨ x ? B ） ? （x∈A ∧x ? A）∨（x∈A ∧x ? B） ? x∈A ∧x ? B ? x∈A－B 所以 A－（A ∩ B）= A－B 设集合的聚合： A =｛AS1, AS2, AS3 ······