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第六章 函数 第一节 函数的集合概念 1。定义：设f是集合X到Y的一条对应规则，如果对每个x ? X，都有唯一的y ?Y与之对应，则称f 是X到Y的一个（一元）函数。一般记为 f：X ? Y。 ① 对应规则 f 也常叫做映射。在 f 下 x 与 y 的对应习惯记为 f(x) = y。 ② X叫做函数f 的定义域，也称为 f 的像源集。 Y叫做函数f 的值域，f(X)称为 f 的像集。 如果X=Y，就说f 是集合A上的函数。 函数满足： ①处处有定义；② 单值，称为全函数。如果不是处处有定义，则称为部分函数（或偏函数）。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例1，定义域为正整数集合的映f(n)= n/(n-3)，以及复数集合上的映射h(x)= x的复根，它们都不满足这里的函数定 义。前者在n=3处无定义，因而是部分 函数；后者不满足单值条件，称为多值 函数。这种情况不纳入考虑范围。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 2。函数的几个例子 例2。熟知的实数集R上的线性函数 f(x)=ax+b, 指数函数 g(x)=ax, 正实数集合R+上的对数函数 h(x)=lnx 等，都满足函数的定义。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例3。设A={a, b, c, d}，定义f： A ? A如下： f (a)=a, f(b)=c, f(c)=a, f(d)=c 则 f是A上的一个函数。也可以记为 f ={ (a, a), (b, c), (c, a), (d, c)}。 f 的定义域和值域都是A，f 的像集是 f(A)={a，c}。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例4。正整数集合I+上的欧拉函数 ? ： I+ ? I+ 满足： ?(n)=不超过n且与n互质的正整数个数. 根据定义，可计算出： ?(1)=1, ?(2)=1, ?(8)=4, ?(20)=8, … 例5. 集合A上的恒等函数记为IA，满足对任何a?A， IA(a)=a. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 3。多元函数 定义: 如果映射 f：A1 ? A2 ? ... ? An ?B1 ? B2 ?... ? Bt 满足对任何 (a1, a2, ...,an) ? A1 ? A2 ? ... ? An , 存在唯一 (b1, b2,...,bt) ? B1 ? B2 ?... ? Bt 与之对应， 则称f 是一个n元函数。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例6。定义集合A的幂集2A上的二元映射 f： 2A ? 2A ? 2A如下