Duffing方程介绍与仿真应用..docxVIP

非线性电路理论及应用报告Duffing方程介绍与仿真应用 姓名：马博学号：3113162025班级：硕3022班完成时间：2013.12摘 要在非线性振动理论研究中，Duffing方程是一种具有代表性的微分方程式。本文首先对Duffing方程进行了简单介绍，包括其类型以及根据电路的推导等；其次，本文对硬特性的Duffing方程进行了不同参数下的Matlab仿真；最后，本文介绍了Duffing方程的微弱信号频率检测，以Holmes型Duffing方程为例进行了分析说明。关 键 词：Duffing方程；非线性；Matlab仿真；混沌；弱信号检测 Duffing方程简介非线性振动问题的研究通常包括定性研究与定量研究。定性研究的主要内容包括方程解的存在性、唯一性、周期性和稳定性的研究等。著名的 Duffing 方程在非线性动力学系统的研究中占有重要地位。其特点之一是在 Duffing 方程等号右边加上了外加强迫项，进而形成了非自治非线性系统。正是由于系统的本征频率与外加周期强迫项的频率的相互作用，才使得该方程中蕴含着极其丰富的内容：倍周期分叉、混沌、清晰大周期等现象[1]。Duffing方程的准形式为：其中0为阻尼系数，g(x)是含有三次方项的非线性函数，为一周期函数。Duffing方程通常作如下分类[2]：假设g(x)满足超线性条件 则称Duffing方程是超线性的；假设g(x)满足次线性条件则称Duffing方程是次线性的；假设g(x)满足半线性条件则称Duffing方程是半线性的。若将Duffing方程规范化，有以下四种基本类型[3]： （1-1） （1-2） （1-3） （1-4）其中k 大于零，是阻尼系数，是系统外力。式（1-1）称为硬特性杜芬方程；式（1-2）、式（1-4）称为软特性杜芬方程；式（1-3）称为日本型杜芬方程；此外，式（1-4）又称为Holmes型。本文选用硬特性杜芬方程进行详细研究。本节主要讨论如下的硬特性Duffing方程形式如下： （1-5） 用上述方程来描述的一种并联LC铁磁混沌振荡电路，其电路图如图 1-1所示。电路由交流电压源供电。图1-1并联LC铁磁混沌振荡电路在图1-1中，非线性电感是一个含铁芯的电感线圈，当电感线圈磁通饱和时，电感电流为： 非线性电感是一个磁通链控制型的电感，是此电路中唯一的非线性器件，而电容C、电阻R均为线性器件。对图1-1可得 （1-6） （1-7）其中。为了分析方便，对方程进行归一化处理，令 ， 则以上方程（1-6）和（1-7）可以分别被表示为 （1-8） （1-9）又令，，则为了分析方便，我们令，，，， 上式中是小参数，则上述方程改写为 （1-10） （1-11）为了便于仿真，我们仍然将写为t，方程 用一个二阶微分方程来表示，即为 （1-12）这即为著名的Duffing方程的第二种形式。Duffing方程的Matlab仿真根据公式（1-5），利用Matlab中的Simulink模块选用不同的电子元器件，设置不同参数，对其进行仿真模拟。 MATILAB中的Simulink是一个动态系统建模仿真和分析的软件包，它是一种基于MATLAB的框图设计环境，支持线性系统和非线性系统，可以用连续采样时间、离散采样时间或两种混合的采样时间进行建模，它也支持多速率系统，也就是系统中的不同部分具有不同的采样速率。Simulink中包括许多实现不同功能的模块库，选择不同的模块建模就能模拟出不同的系统[3]。仿真模型如图2-1所示。图2-1Simulink模块建立的仿真图像混沌运动最为明显的特征之一就是对初值的敏感性，表现为从任意靠近两个初始值出发的轨道在一定时间区间内将会以指数形式分离，系统的初始值的极其微小的改变，能够使系统的震荡输出产生本质的差异。对于离散动力学系统而言，可以利用李雅普诺夫指数对这一特征进行很好的说明。接下来利用仿真模型，选取不同的参数值，对Duffing方程进行仿真分析，结果如图2-1、2-2、2-3、2-4、2-5所示。(a)波形图(b)平面图图2-1初始值（0，0），， (a)波形图(b)平面图图2-2初始值（0，0），， (a)波形图(b)平面图图2-3初始值（0，0），， (a)波形图(b)平面图图2-4初始值（0，0），， (a)波形图(b)平面图图2-5初始值（0，0），， 分析以上各图，可以发现当参数发生变化时，系统特性发生变化，波形图和平面图并没有很强的规律性，这反映了确定系统中的不确定性的行为特征。如图2-5所示，在参数满足，的时候，该系统的轨线满足不交率，即两条最大轨线不可能穿过同一常点，因为其解的光滑映射是唯一的，所以其轨线在相空间只能缠绕而不会相交，这时系统出现混沌现象。基于Duff