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美术班专用复习资料（数学） 第五章、平面向量 第一讲、平面向量的概念与运算 知识清单： 1.向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量.可用有向线段表示.记作:…或…等；向量的长度即向量的模记作||。 (2)零向量： 其方向： (3)单位向量： 单位向量不唯一. (4)平行向量（共线向量）：方向相同或相反方向相同或相反. 规定：与任意向量平行。 (5)相等向量：长度相等且方向相同. 2.向量加法: 设， (1)求两个向量和的运算叫做向量的加法，向量加法按“平行四边形法则”或“三角形法则”进行。 如图 +==。 或 += 规定：； (2) 向量加法满足交换律与结合律； 3.向量的减法 （1）相反向量： 关于相反向量有： ①=； ②+()=()+=； ③若、是互为相反向量，则=,=,+=。 （2）向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，记作：。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。 如上图表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）。 (3)温馨提示：①用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量与差向量分别是两条对角线,注意方向。 ②三角形法则的特点是“顺次首尾相接”由此可知,封闭折线的向量和为零. 差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。 4.实数与向量的积 (1)实数λ与向量的积：①是个向量;②模等于③方向λ0时与同向,λ0时与反向. (2)数乘向量满足交换律、结合律与分配律。 5.向量共线定理： 向量与非零向量共线怎样判定向量共线——(1)共线向量定理；(2)依定义; (3)用几何方法. 6.平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 二、例题讲解： 1、已知D是△ABC的边AB上的中点，则向量 （ A ） A. B C. D. 2、已知向量，且则一定共线的 ( A ) A .Ａ、B、D B. A、B、C C. B、C、D D.A、C、D 3、在平行四边形 ABCD中,,,,M为BC的中点,=__________（用表示） 4、如图,在梯形ABCD中 ,G为对角线AC、BD的交点，E、 F分别是腰AD、BC的中点，求向量。 解：（1）∵ E,F分别是两腰的中点， ∴,又 ，， 两式相加得； （2）设，， 由得： ∴, 5、如图，正六边形中，有下列四个命题： A． B． C． D． 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号） 6、已知是平面内的单位向量，若向量满足，则的取值范围是 。 7、设为非零向量，则下列命题中,真命题的个数是______2 ①与有相等的模； ②与的方向相同； ③与的夹角为锐角； ④且方向相反． 8、已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（　Ａ　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 9、对于向量和实数，下列命题中真命题是（ B ） A．若，则或 B．若，则或 C．若，则或 D．若，则 10、若非零向量、满足｜一｜＝｜｜，则（ Ａ ）　　 (A) ｜2｜＞｜一2｜ (B) ｜2｜＜｜一2｜ (C) ｜2｜＞｜2一｜ (D) ｜2｜＜｜2一｜ 第二讲、平面向量的坐标表示 知识清单、 1.平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。 (1) 若,则 (2)若A(x1,y1),B(x2,y2)则,表示相等向量的有向线段的始点、终点的坐标未必相同. (3) 向量相等(坐标相同。 2.平面向量的坐标运算 若，则 若=(x,y)，则=(x, y) 若，则 3. 设则 向量共线: 向量垂直:， 二、例题讲解： 1、已知向量a、b满足|a|=1，|b|=2，|a－b|=2，则|a+b|等于 ( D ) A.1 B. C. D. 2、已知向量，且A.B.C三点共线，则k= . 3、已知向量不超过5，则k的取值范围是 [－6，2] 设=（3，1），=（-1，2），⊥，∥，O为坐标原点，则满足+=