第7课时——3.3几个三角恒等式（教师）.docVIP

3．3几组三角恒等式 【学习导航】 知识网络 几组三角恒等式： 1．二倍角公式: ； ； ； 2．倍角降幂公式 3．半角公式 4．积化和差公式 5．和差化积公式 6．万能公式 7．派生公式： (1) (sinα±cosα)2＝1±sin2α． (2) 1＋cosα＝2cos2， (3 )1－cosα＝2sin2， (4) asinα＋bcosα ＝sin（α＋φ） ＝cos（α－） （5） 学习要求 1.掌握推导积化和差、和差化积公式、半角公式和万能公式的方法，知道它们的互化关 2.注意半角公式的推导与正确使用. 学习重点 几组三角恒等式的应用 学习难点 灵活应用和、差、倍角等公式进行三角式化简、求值、证明恒等式 【自学评价】 1．积化和差公式的推导 因为和是我们所学习过的知识，因此我们考虑 ； . 两式相加得； 即； 2．和差化积公式的推导 在上式中若令( + ( = (，( ( ( = φ，则， 代入得： ∴ 3．万能公式的推导 1( 2( 3( 1( 2( 3( 【精典范例】 例1已知，求3cos 2( + 4sin 2( 的值. 解：∵ ∴cos ( ( 0 (否则 2 = ( 5 ) ∴ 解之得：tan ( = 2 ∴原式 例2已知，化简. 解：， 故原式=. 例3已知，，tan( =，tan( =，求2( + ( . 解： ∴ 又∵tan2( 0，tan( 0 ∴， ∴ ∴2( + ( = 例4已知sin( ( cos( = ，，求和tan(的值. 解：∵sin( ( cos( = ∴ 化简得： ∴ ∵ ∴ ∴ 即 例5已知cos( ( cos ( = ，sin( ( sin( = ，求sin(( + ()的值. 解：∵cos( ( cos ( = ，∴ ① sin( ( sin ( =，∴ ② ∵ ∴ ∴ ∴ 例6已知A、B、C是三角形的内角，. （1）问任意交换两个角的位置，y的值是否变化？试证明你的结论。 （2）求y 的最大值。 解：（1） = ∴ 任意交换两个角的位置，y的值不变. （2）由（1）可知，不妨设C为锐角 ∴ = 当且仅当时，等号成立。故y 的最大值为。 思维点拔： 1、公式正用要善于拆角；逆用要构造公式结构；变用要抓住公式结构. 2、化简 （1）化简目标：项数尽量少、次数尽量低、尽量不含分母和根号. （2）化简基本方法：异角化同角；异名化同名；切割化弦；高次化低次；常值代换. 3、求值 （1）求值问题的基本类型：给角求值；给值求值；给值求角；给式求值. （2）技巧与方法：切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换 4、证明 （1）证明基本方法：化繁为简法、左右归一法、变更命题法. （2）条件等式的证明关键在于分析已知条件与求证结论之间的差异与联系. 【追踪训练】： 1.如果｜cosθ｜＝，＜θ＜3π,则sin的值等于(C ) 2.设5π＜θ＜6π且cos＝a,则sin等于( D ) 3.已知tan76°≈4，则tan7°的值约为( A ) 4.tan－cot的值等于 －2 . 5.已知sinA＋cosA＝1，0＜Ａ＜π，则tan＝ 2－ . 6.已知tanα、tanβ是方程7ｘ2－8ｘ＋1＝0的两根，则tan＝ －2 或 7.已知α、β为锐角，且3sin2α＋2sin2β＝1，3sin2α－2sin2β＝0. 求证：α＋2β＝ 证法1：由已知得3sin2α＝cos2β ① 3sin2α＝2sin2β ② ①÷②得tanα＝ ∵α、β为锐角 ∴0＜β＜，0＜2β＜π，－π＜－2β＜0， ∴－＜－2β＜ ∴α＝－2β，α＋2β＝ 证法2：由已知可得： 3sin2α＝cos2β 3sin2α＝2sin2β ∴cos（α＋2β）＝cosα·cos2β－sinα·sin2β ＝cosα·3sin2α－sinα·sin2α ＝3sin2αcosα－sinα·3sinαcosα＝0 又由α＋2β∈（0，） ∴α＋2β＝ 证法3：由已知可得 ∴sin（α＋2β）＝sinαcos2β＋cosαsin2β ＝sinα·3sin2α＋cosα·sin2α ＝3sinα（sin2α＋cos2α）＝3sinα 又由②，得3sinα·cosα＝sin2β ③