第2课时——3.1.2两角和与差的正弦（教师）.docVIP

3.1.2两角和与差的正弦 【学习导航】 掌握两角和与差的正弦公式及其推导方法。 通过公式的推导，了解它们的内在联系，培养逻辑推理能力。 并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。 掌握诱导公式 学习重点 由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式 学习难点 进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形 【自学评价】 两角和的正弦公式的推导 sin((+()=cos[(((+()]=cos[((()((] =cos((()cos(+sin((()sin( =sin(cos(+cos(sin( 即： （S(+(） 以((代(得： （S(((） 2公式的分析，结构解剖：正余余正符号同 【精典范例】 例1求值 【解】原式=0 例2 已知，求的值。（答案 2） 例3已知sin((+()=,sin(((()= 求的值 【解】∵sin((+()= ∴sin(cos(+cos(sin(= ① sin(((()= ∴sin(cos((cos(sin(= ② ①+②：sin(cos(= ①(②：cos(sin(= 例4（1）已知，求tanα: tanβ的值。 解：由已知，sinαcosβ+cosαsinβ=1/2 (1), sinαcosβ-cosαsinβ=1/3 (2) tanα:tanβ=5:1 （2）计算的值. 解：原式= == = 思维点拔： 由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式，并进而推得两角和的正弦公式，并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。 【追踪训练】： 1 在△ABC中，已知cosA =，cosB =，则cosC的值为（　A　） （A） （B） （C） （D） 解：因为C = ( ( (A + B)， 所以cosC = ( cos(A + B) 又因为A,B((0, (), 所以sinA = , sinB =, 所以cosC = ( cos(A + B) = sinAsinB ( cosAcosB = 2已知，，，，求sin(( + ()的值 解：∵ ∴ 又 ∴ ∵ ∴ 又 ∴ ∴sin(( + () = (sin[( + (( + ()] = 3已知sin( + sin( = ，求cos( + cos(的范围 解：设cos( + cos( = t， 则(sin( + sin()2 + (cos( + cos()2= + t2 ∴2 + 2cos(( ( () = + t2 即 cos(( ( () = t2 ( 又∵(1≤cos(( ( ()≤1 ∴(1≤t2 (≤1 ∴≤t≤ 4已知sin((+() =，sin(((() =，求的值 解：由题设： 从而： 或设：x = ∵ ∴ ∴x = 即 = 5．已知sin(+sin(= ① ， cos(+cos(= ② ，求cos(((() 解： ①2: sin2(+2sin(sin(+sin2(= ③ ②2: cos2(+2cos(cos(+cos2(= ④ ③+④: 2+2(cos(cos(+sin(sin()=1 即：cos(((()= 【选修延伸】 例5化简 解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？ 思考：是怎么得到的？，我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于和的. 思维点拔： 我们得到一组有用的公式： ⑴ sinα±cosα＝sin＝cos． (2) sinα±cosα＝2sin＝2cos． (3) asinα＋bcosα＝sin（α＋φ）＝cos（α－） （3）的推导公式： 由于 sin2θ＋cos2θ＝1 (1)若令＝sinθ，则＝cosθ ∴asinα＋bcosα＝（sinθsinα＋cosθcosα）＝cos（θ－α） 或＝cos（α－θ） (2)若令＝cos，则＝sin ∴sinα＋bcosα＝（sinαcos＋cosαsin）＝sin（α＋） 【追踪训练】： 1．化简 解：原式＝ 或解：原式＝ 2．求证：cosx+sinx=cos(x) 证：左边= (cosx+sinx)=( cosxcos+sinxsin) =cos(x)=右边 又证：右边=( cosxcos+sinxsin)=(cosx+sinx) = cosx+sinx=左边 3. 求证：cos(+sin(＝2sin(+() 证：左边＝2(cos(+sin()＝2(sincos(+cossin()＝2si