知识专题检测8 立体几何.docVIP

知识专题检测八 立体几何 一、填空题 1．表面积为 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 2．平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则动点的轨迹是一条直线 3．已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于 4．如图，正四面体 ABCD的棱长为 1，平面α过棱 AB， 且 CD∥α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积是 5．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如图1,则图中三角形(正四面体的截面) 的面积是 6．水平桌面α上放有4个半径均为2R的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这4个球的上面放1个半径为R的小球,它和下面4个球恰好都相切,则小球的球心到水平桌面α的距离是 3R 7.过球的一条半径的中点作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为 8．如图，已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为10 . 9．已知二面角的大小为，为异面直线，且，则所成的角为 10.如图，O是半径为l的球心，点A、B、C在球面上， OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC的中点， 则点E、F在该球面上的球面距离是 11.已知三点在球心为，半径为的球面上，，且那么球心到平面的距离为 12．过三棱柱 ABC－A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有　6　　条. 13. 如图，在正三棱柱中，若二面角的大小为，则点C1到直线的距离为 14. 关于直线与平面，有以下四个命题： ①若且，则；②若且，则； ③若且，则；④若且，则； 其中真命题的序号是②③ 三．解答题 15.如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。 （Ⅰ）证明⊥； （Ⅱ）求面与面所成二面角的大小。 解：（Ⅰ）在正六边形ABCDEF中，为等腰三角形， ∵P在平面ABC内的射影为O，∴PO⊥平面ABF，∴AO为PA在平面ABF内的射影；∵O为BF中点，∴AO⊥BF，∴PA⊥BF。 （Ⅱ）∵PO⊥平面ABF，∴平面PBF⊥平面ABC；而O为BF中点，ABCDEF是正六边形 ，∴A、O、D共线，且直线AD⊥BF，则AD⊥平面PBF；又∵正六边形ABCDEF的边长为1，∴，，。 过O在平面POB内作OH⊥PB于H，连AH、DH，则AH⊥PB，DH⊥PB，所以为所求二面角平面角。 在中，OH=，=。 在中，； 而 （Ⅱ）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，P(0,0，1)，A(0，,0)，B(，0,0)，D(0,2，0)，∴，， 设平面PAB的法向量为，则，，得，；设平面PDB的法向量为，则，，得，； ,所求二面角的大小为arccos(). 16．如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、 BC的中点,CA=CB=CD=BD=2 （Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD； （Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的大小； （Ⅲ）求点E到平面的距离. 解：（I）证明：连结OC 在中，由已知可得 而 即 平面 （II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知 直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角 在中， 是直角斜边AC上的中线， 异面直线AB与CD所成角的大小为 （III）解：设点E到平面ACD的距离为 在中， 而 点E到平面ACD的距离为 17．如图5所示，、分别世、的直径，与两圆所在的平面均垂直，.是的直径，,. (I)求二面角的大小； (II)求直线与所成的角. 解：(Ⅰ)∵AD与两圆所在的平面均垂直, ∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD是二面角B—AD—F的平面角， 依题意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝450. 即二面角B—AD—F的大小为450； (Ⅱ)以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，，0），B（，0，0）,D（0，，8），E（0，0，8），F（0，，0） 所以， 设异面直线BD与EF所成角为， 则 直线BD与EF所成的角为 18．如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。 （Ⅰ）、试确定，使直线与平面所成角的正切值为； （Ⅱ）、在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于，并证明你的结论。 解法１：（１） 故。所以。 又. 故 在△，即. 故当时，直线。 （Ⅱ）依题意，要在上找一点，使得. 可推测的