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知识专题检测二 函数 一、填空题 1．已知函数是定义在上的偶函数. 当时，，则 当时， 2．已知是（-，+）上的增函数，那么a的取值范围是 (1,3) 3．函数的单调为减区间为 4．已知是周期为2的奇函数，当时，设则将、、从小到大排列应是　 5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 6．函数的反函数的图像与轴交于点 （如图2所示），则方程在上的根是2 7．设，则的定义域为 8．如果函数的图像与函数的图像关于坐标原点对称，则的表达式为 9．在区间上的最大值是2 10.设函数的反函数为，且的图像过点，则的图像必过（1，0） 11．函数在上的最大值与最小值之和为 3 . 12.函数对于任意实数满足条件，若则 13. 已知函数，若为奇函数，则 14. 半径为r的圆的面积S(r)＝r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(r2)`＝2r ， 式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。 对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于的式子： 式可以用语言叙述为： 球的体积函数的导数等于球的表面积函数 。 二、解答题 15. 设f(x)=3ax,f(0)＞0，f(1)＞0，求证： (Ⅰ)a＞0且－2＜＜－1； (Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根. 解：本题主要考查二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识。满分10分。 证明：（I）因为，所以. 由条件，消去，得； 由条件，消去，得，. 故. （II）抛物线的顶点坐标为， 在的两边乘以，得. 又因为而 所以方程在区间与内分别有一实根。 故方程在内有两个实根. 16. 已知定义域为的函数是奇函数。 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围； 解：（Ⅰ）因为是奇函数，所以=0，即 又由f（1）= -f（-1）知 （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，易知在上 为减函数。又因是奇函数，从而不等式： 等价于，因为减函数，由上式推得： ．即对一切有：， 从而判别式 解法二：由（Ⅰ）知．又由题设条件得：　　　　　　　　　， 　　即　：， 整理得　 上式对一切均成立，从而判别式 17.设a为实数，设函数的最大值为g(a)。 　　　（Ⅰ）设t＝，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t) （Ⅱ）求g(a) 解：本小题主要考查函数、方程等基本知识，考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。 （Ⅰ）令 要使有t意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1, ∴t≥0 ① t的取值范围是由①得 ∴m(t)=a()+t= （Ⅱ）由题意知g(a)即为函数的最大值。 注意到直线是抛物线的对称轴，分以下几种情况讨论。 （1）当a0时，函数y=m(t), 的图象是开口向上的抛物线的一段， 由0知m(t)在上单调递增，∴g(a)=m(2)=a+2 (2)当a=0时，m(t)=t, ,∴g(a)=2. (3)当a0时,函数y=m(t), 的图象是开口向下的抛物线的一段， 若，即则 若，即则 若，即则 综上有 18．是定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：①对任意的，都有；②存在常数，使得对任意的，都有. (I)设 ，证明： (II)设，如果存在，使得，那么这样的是唯一的； (III) 设，任取，令，，证明：给定正整数，对任意的正整数，成立不等式 解：(I)对任意,,,,所以， 对任意的，， ，所以0 ,令=，， 所以 (II)反证法:设存在两个使得,则 由，得，所以，矛盾，故结论成立。 (III) ，所以 +… 用心 爱心 专心 115号编辑 图2