河南南乐高二数学圆锥曲线的错解例析.docVIP

圆锥曲线的错解例析 ●濮阳市第一高级中学 吉晓波 邮编：457000 圆锥曲线是的重点内容，也是高考命题的一个热点．圆锥曲线题目涉及知识面广，综合性强，在解题过程中稍有疏忽就会出现错误．本文例常见的错误解法并进行错因剖析的距离之差的绝对值等于10，则点P的轨迹为（ ） A.双曲线 B.椭圆 C. 两条射线 D.线段 错解：根据双曲线的定义知，点P的轨迹是双曲线，故选A 错解分析：双曲线定义中，动点与两定点的距离之差的常数必须小于两定点之间的距离，即2a2c，而本题中，因此点P的轨迹不是双曲线 正解：由可知，点P的轨迹为以为端点的两条射线 评注：解决此类问题的关键是正确理解圆锥曲线的第一和第二定义 二、焦点位置不清或简单的换a、b 例2、求长轴是短轴的3倍，且经过点P（6,0）的椭圆方程. 错解：设焦点在ｘ轴上时方程为，则由题意有. ∴方程为.　交换ａ，ｂ得焦点在ｙ轴上的方程为. 故所求椭圆方程有两个和 错解分析：教材上讲解圆锥曲线的定义时，指出圆锥曲线的焦点所在轴不同，方程也不同.本题简单的交换就得到另一方程，导致错解 正解：设焦点在ｘ轴上时方程为，则由题意有. ∴方程为. 设焦点在ｙ轴上时方程为，则由题意有，从而这时方程为.　故满足条件的椭圆方程有两个：和. 评注：解决此类问题要注意：如果焦点的位置不确定，曲线形状不改变，则可简单机械地交换，否则就要重新设标准方程再进行推算，最好的做法是都设再分别求. 三、误用判别式致错 例3、已知双曲线C：，过点P（1,1）作直线ｌ，使得ｌ与C有且仅有一个公共点，则满足上述条件的直线ｌ共有（　　） A.1条　B.2条　C.3条　　D.4条 错解：设直线ｌ的方程为ｙ－1＝ｋ（ｘ－1），即ｙ＝ｋｘ－ｋ＋1，与联立消去ｙ得（4－ｋ2）ｘ2＋（2ｋ2－2ｋ）ｘ－ｋ2＋2ｋ－5＝0. 要直线ｌ与C有且仅有一个公共点，必须△＝（2ｋ2－2ｋ）2－4（4－ｋ2）（－ｋ2＋2ｋ－5）＝0，解得ｋ＝.　故满足条件的直线ｌ只有一条，选A. 错解分析：以上解法有三个问题，一是双曲线与直线只有一个交点，除了利用△＝0得出相切的一条外，还有与渐近线平行的直线也与双曲线只有一个交点；二是利用△＝0时，必须以一元二次方程的二次项系数不为零为前提；三是设直线点斜式时，还要考虑斜率不存在的情况.　 正解：（1）若直线ｌ的斜率不存在，即ｌ：ｘ＝1，它与双曲线的右支相切于顶点（1，0），故ｌ：ｘ＝1满足条件； （2）若直线ｌ的斜率存在，设ｌ：ｙ－1＝ｋ（ｘ－1），即ｙ＝ｋｘ－ｋ＋1，与联立消去ｙ得（4－ｋ2）ｘ2＋（2ｋ2－2ｋ）ｘ－ｋ2＋2ｋ－5＝0. （1）当4－ｋ2＝0即ｋ＝±2时，直线ｌ平行于渐近线，与双曲线也只有一个交点，故ｌ：ｙ＝2ｘ－1和ｙ＝－2ｘ＋3也满足条件； （2）当4－ｋ2≠0即ｋ≠±2时，由△＝0得ｋ＝，故ｌ：ｙ＝ｘ－也满足. 综合以上所述知，满足条件的直线ｌ共有四条，故应选D 评注：在解题过程中，根据题型特征，优先考虑问题的某些方面，可以有效地防止错解和漏解，分类讨论是解决其关键 四、忽视题目隐含条件 例4、已知在中，BC=8,另两边长之差为6，求顶点A的轨迹方程 错解：以边BC所在直线为x轴，BC的中点为坐标原点，建立直角坐标系，因为，所以点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线，由已知得a=3,c=4，，故顶点A的轨迹方程为 错解分析：上述解法忽视了A、B、C为三角形的三个顶点，即A、B、C三点不能共线这一限制，从而导致结果错误 正解：前面同错解，由A、B、C三点不能共线知点A不能落在x轴上，所以顶点A的轨迹方程为 评注：解轨迹问题时，求出轨迹方程后，一定要考虑轨迹上的每一个点是不是都符合题意，即考虑轨迹方程的纯粹性，有没有多余的点. 五、忽视方法结论的前提致错 例5、设两点在抛物线上，是AB的垂直平分线，问当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论 错解：由题意A、B的中点为P，有，又和作差得，∵，∴无解，故这样的直线不存在 错解分析：本题看起来没有错误，其实本题在利用“设而不求”思想解决中点弦问题时忽略了其前提是直线L的斜率存在 正解：（1）直线的斜率不存在时，显然有=0 （2）直线的斜率存在时，设为k， 截距为b，即直线：y=kx+b 由已知得， 即的斜率存在时，不可能经过焦点 所以当且仅当=0时，直线经过抛物线的焦点F 评注：在运用“设而不求法”处理圆锥曲线中的弦的问题时，虽然这一方法简单快捷，但它却无法证明这条直线一定会与曲线相交，故必须进行验证. 跟踪练习： 1.点P（x,y），则P点的轨迹是（ ）A、直线 B、抛物线 C、双曲线 D、椭圆 2.已知椭圆的焦点在坐标轴