9.韦达定理法.docVIP

9.韦达定理法 ? 利用一元二次方程的韦达定理(即根与系数的关系)解题的方法叫做韦达定理法，它是处理解析几何问题的一个主要技巧． (一)关于弦中点问题 例1 ?已知点M(2，2)是椭圆x2＋4y2-2x-12y＋6=0内部一点，过M作直线l交此椭圆于两点A、B，使M为弦AB的中点，求直线l的方程． 【解法1】 ?先考察过M点斜率不存在的直线x=2．由于点M不 再考察过M点斜率存在的直线．设直线l的方程为y-2=k(x-2)，即y=kx-2k＋2，把它代入椭圆方程中，整理，得 (1+4k2)x2-2(8k2-2k+1)x+2(8k2-4k-1)=0． 设A、B的横坐标分别为x1、x2，则由韦达定理，得 又由中点坐标公式，得 即???x+2y-6=0． 把它代入椭圆的方程中，整理，得 (cos2α+4sin2α)t2+2(cosα+2sinα)t-2=0． ∵? M是弦AB的中点，∴由韦达定理，得 即????x＋2y-6=0． 【解说】? 已知圆锥曲线内一点，求以该点为中点的弦所在的直线方程，用韦达定理法去解，一般有上述两种方法． B1、B2，且A为B1B2的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果m不存在，说明理由． 【解】 ?设所求的直线方程为y=k(x-1)+1，代入双曲线方程中，整理，可得 (2-k2)x2+2(k2-k)x-(k2-2k+3)=0． 设B1(x1，y1)、B2(x2，y2)，则A为B1B2中点的充要条件为 解②，得k=2．代入①中，不适合． 故满足题中条件的直线m不存在． 【解说】 ?由本例可知，应用韦达定理法解直线与圆锥曲线相交的问题时，要注意直线与圆锥曲线相交的条件，即判别式不小于零是应用韦达定理的先决条件． (二)弦长问题 例3 ?顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线，被直线y=2x＋1截得 【解】 ?设抛物线的方程为y2=2px，把y=2x＋1代入抛物线方程中，整理，得 4x2+2(2-p)x＋1=0． ∵? Δ=[2(2-p)]2-4×4×1＞0， ∴? p＜0或p＞4． 设直线与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，则 解之，得p1=-2，p2=6． 故所求的抛物线方程为y2=-4x或y2=12x． 【解说】 ?直线与二次曲线相交，截得弦长，一般可用公式|AB|= 、x2分别是点A、B的横坐标． (三)线段关系式 例4 ?已知抛物线C：y2=4x和定点R(0，-2)，是否存在过定点R的直线l，交抛物线C于P、Q两点，使|PQ|2=|RP|·|RQ|，若存在，求其方程，若不存在，说明理由． 【解】 ?如图2－10，设所求的直线为y=kx-2，把它代入y2=4x中，整理，得 k2x2-4(k+1)x+4=0． 当Δ=[-4(k＋1)]2-16k2＞0， 分别过P、Q作x轴的垂线，垂足为A、B，则由|PQ|2=|RP|·|RQ|，得 |AB|2=|OA|·|OB|， ∴? |xQ-xP|2=xP·xQ， 即(xP+xQ)2 -5xPxQ=0． 故符合题意的直线l存在，其方程为 例5 ?已知点M(x1，y1)在第一象限内，过M的两个圆与两坐标都相切，且它们的半径分别为r1、r2(r1≠r2)，求证： 【证明】 ?设过点M的两个圆为⊙O1、⊙O2． ∵? 它们都与x轴、y轴都相切， ∴? 它们的方程分别为 ∵? 点M在这两个圆上， 由以上两式可知，r1、r2是关于r的方程 于是 由韦达定理，得 ? 【巩固练习】? 用韦达定理法解证下列各题： 1．已知抛物线y2＋4x-y＋1=0的一条弦被点M(-2，3)所平分，求这条弦所在直线的方程． 方程． 3．抛物线y=x2-2x+2交动直线y=kx(k＞0)于P1、P2两点，点Q在 4．过点P(1，1)作一条动直线，交圆x2＋y2=4于A、B两点，求|AP|2+|BP|2的最大值和最小值． 5．已知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点弦长|AB|=m，顶点为O，求△OAB的面积． 6．抛物线y2=4x，过点A(0，-2)的直线与抛物线交于不同的两点P、Q，O为原点，以OP、OQ为邻边的平行四边形为OPMQ，求动点M的轨迹方程． 7．设抛物线的顶点在原点，焦点F是圆x2＋y2-4x=0的圆心．过此抛物线的焦点且斜率为2的直线与抛物线和圆分别相交于A、D、B、C(如图2－11)，求|AB|＋|CD|． ? 巩固练习答案或提示? 3．把y=kx代入y=x2-2x＋2中，整理，得x2-(k＋2)x＋2=0，由 4．用直线的参数方程去解，最大值为12，最小值为4． 6．设直线PQ的斜率为k(k≠0)，把y=kx-2代