3.8函数的最值.pptVIP

设计制作：廖维猛 函数的最大值与最小值 1.函数最值的概念 定义：可导函数 在闭区间[a,b]上所有点处的函数值中最大（或最小）值，叫做函数 的最大（或最小）值。 一般地，在闭区间上连续的函数 在[a,b]上必有最大值与最小值。 函数 在 (0,∞)内连续。 2.求可导 函数在[a,b]上最值的方法。 2.求可导 函数在[a,b]上最值的方法。 【对应练习】 例2：在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起如下图，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时？箱子容积最大？最大容积是多少？ 【对应练习】圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面径应样选取时，才能使所用的材料最省？ 解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积 S=2πRh+2πR2 由V=πR2h，得h= ，则 S(R)= 2πR? + 2πR2= +2πR2 令 S’(R)= +4πR=0 解得，R= 从而h= = = =2 即 h=2R 因为只有一个极值，所以它是最小值。 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省。 【反馈练习】 1.函数 在[-3，4]上的最小值为（ ） A、-64 B、-51 C、-56 D、-61 2.函数 在上的最大值为（ ） A、2+2 B、4 C、 D、5 3．函数 在 时的最 大、最小值分别是 。 4．教材P139 练习1、2(课后完成)。 【课堂小结】 （1）利用导数求函数最值的关键是可导函数极值的判定； * * 高三数学选修（Ⅱ）第三章 导数与微分 函数的最大值与最小值 O x y Y=f(x) a b x1 x2 x3 极小值f(x1) 极大值f(x2) 极小值f(x3) 最大值f(b) 最小值f(x3) 若改为 (a,b)? 举例说明 例1：求函数 在区间[-2，2]上的最大值与最小值。 解： 令 有 解得： 当x变化时， ，y的变化情况如下表： 13 2 + (1,2) 4 0 1 - (0,1) + (-1,0) 5 4 13 y 0 - 0 -1 (-2,1) -2 x 从上表可看出，最大值是13，最小值是4。 例1：求函数 在区间[-2，2]上的最大 值与最小值。 图象 【解题回顾】 设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内 可导，求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤： （1）求f(x)在(a,b)内的极值； （2）将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的 一个是最大值，最小的一个是最小值。 求下列函在所给的区间上的最大值与最小值。 （1）y=x-x3 x∈[0,2] （2）y=x3+x2 -x x∈[-2,1] 【解题回顾】在求函数f(x)在[a,b]最值过程中，判断极值比较麻烦，可改求可导函数在(a,b)内导数为0点函数值，再把这些值与函数在端点的值比较即可。 几何画板 【解题回顾】 1.求最大（小）值应用问题的一般方法： 分析、联系、抽象、转化 数学方法 数学结果 实际结果 回答问题 实际问题 建立数学模型 （列数学关系式） 解决应用性问题的关键是读题——懂题——建立数学关系式。 2.在实际问题中，有时会遇到在区间内只有一个点 使导数为0的情形，如果函数在这点有极大(小)值， 那么不与端点的值比较，也可以知道这就是最大 (小)值。这时所说的也适用于开区间或无穷区间。 D B （2）若连续函数在闭区间上只有一个导数 为0的点，且在这一点有极值，则该极值就 是函数在上的最值； （3）导数应用的主要内容之一就是求实际 问题的最值，其关键是分清各量间的关系， 建立目标函数，在判断函数极值的基础一就 可以确定出函数的最值情况。