3.基本不等式及应用.docVIP

（三）基本不等式及应用 一、知识归纳： 1．基本不等式： ①，（当且仅当时，取等号） 变形：，， ②重要不等式：如果，则（当且仅当时，取“”号） 2．最值问题： 已知是正数， ①如果积是定值P，则当时，和有最小值； ②如果和是定值S，则当时，积有最大值. 利用基本不等式求最值时，要注意变量是否为正，和或积是否为定值，等号是否成立，以及添项、拆项的技巧，以满足均基本不等式的条件。 3．称为的算术平均数，称为的几何平均数。 二、学习要点： 1．掌握基本不等式的结构特点，利用基本不等式可以求涉及和、积结构的代数式的最值，难点在于定值的确定。 2．基本不等式的应用在于“定和求积、定积求和”。必要时可以通过变形（拆补）、运算（指、对数等）构造定值。 3．只有在满足“一正、二定、三等”条件下，才能取到最值。 4．基本不等式的主要应用有：求最值、证明不等式、解决实际问题。 三、例题分析： 例1．已知，则的最大值是________. 例2．已知，且， 求（1）的最小值；（2）的最小值。 例3．求下列函数的最小值 （1） （2）已知，且求的最大值及相应的x，y的值。 例4．某村计划建造一个室内面积为800的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1宽的通道，沿前侧内墙保留3宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少 四、练习题： （一）、选择题： 1．设，且，则的最小值是 A．6 B． C． D． 2．下列不等式中恒成立的是 A． B． C． D． 3．下列结论正确的是 A．当 B． C．的最小值为2 D．当无最大值 4．若是正实数， 则的最小值为 A．6 B． 9 C． 12 D． 15 5．若正数满足，则的取值范围是 A．　　 Ｂ．　　 C．　　　 D．，且，则x的取值范围是 A． B． C．或 D．或 7．下列函数中最小值是4的是 A． B． C． D． 8．若关于x的方程有解，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 9．若直线过圆的圆心，则的最大值是 A． B． C． D． 10．已知，，则 A． B． C． D． （二）、填空题： 11．点在直线位于第一象限内的图象上运动，则的最大值是____________. 12．函数的最小值是_____________. 13．已知，则的取值范围是__________. 14．已知，且，则下列不等式①；②；③；④。其中正确的序号是________________. （三）、解答题： 15．已知且，求的最大值。 16．求函数y＝的最小值，其中。 17．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：。 （1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到千辆/小时） （2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车站的平均速度应在什么范围内？ 18．某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求： （1）仓库面积的最大允许值是多少？ （2）为使达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ （三）基本不等式及应用 参考答案 三、例题分析： 例1．已知，则的最大值是_________. 例2．已知，且， 求（1）的最小值；（2）的最小值。 解：（1）由，得， 又，则，得， 当且仅当时，等号成立。 （2）法1：由，得， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立。 法2：由，得， 则=。 例3．求下列函数的最小值 （1） （2）已知，且求的最大值及相应的x，y的值。 解：（1）换元法，设，，则， 且 当且仅当，即时，等号成立。则函数的最小值是9。 （2）由，且得 ，当且仅当，即，时， 等号成立。故当，时，的最大值是 例4．某村计划建造一个室内面积为800的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1宽的通道，沿前侧内墙保留3宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少 解：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则 ab=800