2009届高三数学难点突破练习----奇偶性与单调性.docVIP

2009届高三数学难点突破练习----奇偶性与单调性 奇偶性与单调性(一) 函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象. 难点： 设a0,f(x)=是R上的偶函数，(1)求a的值；(2)证明： f(x)在(0，+∞)上是增函数. 例题： ［例1］已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0x1时f(x)0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明： (1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减. 本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力. 奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想. 本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得. 对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定的范围是焦点. 证明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数. (2)先证f(x)在(0，1)上单调递减. 令0x1x21,则f(x2)－f(x1)=f(x2)－f(－x1)=f() ∵0x1x21,∴x2－x10,1－x1x20，∴0, 又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)0 ∴x2－x11－x2x1, ∴01,由题意知f()0， 即f(x2)f(x1). ∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0. ∴f(x)在(－1，1)上为减函数. ［例2］设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)f(3a2－2a+1).求a的取值范围，并在该范围内求函数y=()的单调递减区间. 本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法. 逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题. 逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱. 本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法. 解：设0x1x2,则－x2－x10，∵f(x)在区间(－∞,0)内单调递增， ∴f(－x2)f(－x1),∵f(x)为偶函数，∴f(－x2)=f(x2),f(－x1)=f(x1), ∴f(x2)f(x1).∴f(x)在(0，+∞)内单调递减. 由f(2a2+a+1)f(3a2－2a+1)得：2a2+a+13a2－2a+1.解之，得0a3. 又a2－3a+1=(a－)2－. ∴函数y=()的单调减区间是［，+∞］ 结合0a3,得函数y=()的单调递减区间为［，3). 本难点所涉及的问题及解决方法主要有： (1)判断函数的奇偶性与单调性 若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性. 若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性. 同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的“磁场”及“训练”认真体会，用好数与形的统一. 复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握基本函数. (2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目. 练习题： 一、选择题 1.下列函数中的奇函数是( ) A.f(x)=(x－1) B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 2.函数f(x)=的图象( ) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线x=1对称 二、填空题 3.函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_________. 4.若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0x1x2),且在［x2,+∞上单调递增，则b的取值范围是_________. 三、解答题 5.已知函数f(x)=ax+ (a1). (1)证明：函数f(x)在(－1，+∞)上为增函数. (2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根. 6.求证函数f(x)=在区间(1，+∞)上是减函数. 7.设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足：(i)f(x1－x2)=； (ii)存在正常数a使f(a)=1.求证： (1)f(x)是奇函数. (2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a. 8.已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且 f(－)=0,当x－时，f(x)0. (1)求证：f(x)是单调递增函数； (2)试举