排列组合中的分组(堆)问题.docVIP

排列组合中的分组(堆)问题 　　由于排列组合的抽象性，解决问题的关键就是将抽象问题具体化，必须要善于总结归纳题型，把握合理分步，准确分类，不重不漏的原则. 　　 　　? 　　笔者认为之所以学生“怕”学排列组合，主要还是因为排列组合的抽象性，那么解决问题的关键就是将抽象问题具体化，必须要善于总结归纳题型，把握合理分步，准确分类，不重不漏的原则.通过本人的教学实践，发现排列、组合中有一类问题，学生经常出错，理解不清，即分组（堆）问题，下面是我结合教学实践与研究，改进后的一些具体做法.实践表明：掌握好了这类问题不仅能帮助同学加深对分类、分步计数原理的理解，而且能解决一类比较复杂的排列、组合、概率问题，收到了比较好的教学效果.? 　　 　　一、基础知识? 　　 　　1．有关分组的一些概念? 　　 　　（1）非均匀分组与均匀分组：将n个元素分成m个组后，若各组里元素个数彼此不相等，则称为非均匀分组；若各组里的元素个数全部相等或一部分组里的元素个数相等，则称为均匀分组.? 　　 　　（2）不编号分组与编号分组：若分组后组与组之间无区别，即交换组与组之间的顺序不影响事件的结果，则称为不编号分组.反之称为编号分组.? 　　 　　2．有关分组的公式? 　　 　　（1）非均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m个组，每组里的元素个数分别为 　　m?k(k=1,2,…,n) 　　，若m?i≠m?j(i≠j)，则分组的方法数为：? 　　C??m?1??n#8226;C??m?2???n-m?1?#8226; 　　C??m?3???n-(m?1+m?2)?… 　　C??m?m???n-(m?1+m?2+…+m??m-1?)?? 　　 　　 　　(2)均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m个组，若其中有k个组元素的个数是相等的（2≤k≤m），则分组方法数为? 　　 　　 C??m?1??n#8226;C??m?2???n-m?1?#8226; 　　 　　C??m?3???n-(m?1+m?2)?#8226;…#8226; 　　 　　C??m?m???n-(m?1+m?2+…+m??m-1?）? 　　 　　A?k?k.? 　　 　　(3)非均匀编号分组：将n个元素分成编号的m个组，每组里元素个数分别为 　　m?k(k=1,2,…,m） 　　，若m?i≠m?j(i≠j)，则分组方法数为：? 　　C??m?1??n#8226;C??m?2???n-m?1?#8226; 　　 　　C??m?3???n-(m?1+m?2)?#8226;…#8226; 　　 　　C??m?m???n-(m?1+m?2+…+m??m-1?)? A?k?k 　　#8226;A?m?m 　　.? 　　 　　(4)均匀编号分组：将n个元素分成编号的m个组，若其中有k个组的元素个数相等（2≤k≤m），则分组方法数为： 　　? 　　C??m?1??n#8226;C??m?2???n-m?1? 　　#8226;C??m?3???n-(m?1+m?2)?… 　　C??m?m???n-(m?1+m?2+…m??m-1?)? A?k?k 　　#8226;A?m?m.? 　　 　　二、综合应用? 　　 　　掌握这类问题，必须准确地判断分组的类型，下面结合实例加以说明. 　　? 　　例1甲、乙、丙三位老师分别到6个班任教，其中：? 　　 　　（1）一人教一个班，一人教二个班，一人教三个班，有多少种不同安排方法？ 　　? 　　（2）三人都教两个班，有多少种不同安排方法？ 　　? 　　（3）二人各教一个班，另一个人教4个班，有多少种不同的安排方法？ 　　? 　　分析1：先看班级分组是非均匀不编号分组，有 　　 　　C?1?6#8226;C?2?5#8226;C?3?3；再考虑老师，有A?3?3种，故共有 　　C?1?6#8226;C?2?5#8226;C?3?3#8226;A?3?3种排法.? 　　 　　分析2：光看班级是均匀不编号分组，有 　　C?2?6#8226;C?2?4#8226;C?2?2 　　A?3?3 　　；再考虑老师有A?3?3种方法，故共有 　　 　　C?2?6#8226;C?2?4#8226;C?2?2 A?3?3#8226;A?3?3 　　种排法.? 　　 　　分析3：班级是均匀不编号分组，有 　　 　　C?1?6#8226;C?1?5#8226;C?4?4 　　 　　A?2?2 　　；再考虑老师有A?3?3种方法，故共有 　　 　　C?1?6#8226;C?1?5#8226;C?4?4 　　 　　A