2013益阳第20题-1.pptxVIP

图形旋转与存在性2013益阳市第20题 AAA36°36°36°EEEFBCBB图8（备用图）CC图8图8（1）图8（2） 如图8，在 △ABC 中，∠A=36°，AB=AC ， ∠ABC 的平分线BE交AC于E．（1）求证： AE=BC ；（2）如图8（2），过点E作EF∥BC交AB于F,将绕△AEF点A逆时针旋转角α(0°α144°)得到 ，连结 ， ，求证： ；（3）在（2）的旋转过程中是否存在 ∥AB？若存在，求出相应的旋转角 ；若不存在，请说明理由．A36°EBC图8（1）【思路探究】（1）根据条件可以求出图形中所有角，再根据“等角对等边”可以得出AE=BE=BC；【试题解答】（1）证明：∵ AB=AC ， ∠A=36°，∴ ∠ABC=∠C=72°，又BE平分∠ABC，∴ ∠ABE=∠CBE=36°，∴ ∠BEC=180°―∠C ―∠CBE=72°，∴ ∠ABE=∠A， ∠BEC=∠C∴AE=BE， BE=BC∴AE=BC（2）要证 ，只要证得 ≌ 即可 ；由旋转的性质可知： ， ∴ ≌，A∴36°EFBC图8（2）【思路探究】【试题解答】（2）证明：∵ AC=AB且 EF∥BC，∴ AE=AF，【思路探究】说明：本页动态图形必须安装几何画板5.0以上版本才能显示（3）通过操作可以发现存在两个位置，使 ∥AB .先把这两个位置的点作出来. 然后根据平行线的性质及含36°角的等腰三角形的性质确定旋转角. （3）存在 ∥AB，lA①当点E的像 与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形， 36°EF②当点E的像 与点M重合时，BC第20题解图所以当旋转角为36°或72°时， ∥AB．【试题解答】 由（1）可知AE=BC，所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，E点经过的路径(圆弧)与过点C且与AB平行的直线l交于M、N 两点，如图．∴∠BAM=∠ABC=72°又∠BAC=36°∴α=∠CAM=36°由AB∥l得，∠AMN=∠BAM=72°，∵AM=AN，∴∠ANM=∠AMN=72°，∴∠MAN=180 ° ―2×72 ° =36°，∴α= ∠CAN=∠CAM+∠MAN =72°【易错提示】　问题(3)②中，平行含有两种情况，很多同学会忽略一种，所以需要我们有良好的动手操作能力. 【归纳反思】本题是一道很有特色的几何综合题，首先起点较低，上手较易； 第（1）题主要考查三角形的基本知识； 第（2）题主要考查旋转的性质、全等三角形的知识； 　第（3）题有一定的区分度，但只要认真操作一下，是可以找到解决问题的路径的。 　采用“交点法”，先把符合条件的点确定出来，再根据图形的特殊性求出旋转角；其中等腰梯形判定和性质在本题中运用尤为巧妙。 （2012·成都）如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=α，CQ=时，P、Q两点间的距离 (用含α的代数式表示)． 【变式练习】