高中空间立体几何典型例题.docVIP

1 如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E=C1F. 求证：EF∥平面ABCD. 证明 方法一 分别过E，F作EM⊥AB于M，FN⊥BC于N，连接MN. ∵BB1⊥平面ABCD， ∴BB1⊥AB，BB1⊥BC， ∴EM∥BB1，FN∥BB1， ∴EM∥FN. 又∵B1E=C1F，∴EM=FN， 故四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN. 又MN平面ABCD，EF平面ABCD， 所以EF∥平面ABCD. 方法二 过E作EG∥AB交BB1于G， 连接GF，则， ∵B1E=C1F，B1A=C1B， ∴，∴FG∥B1C1∥BC， 又EG∩FG=G，AB∩BC=B， ∴平面EFG∥平面ABCD，而EF平面EFG， ∴EF∥平面ABCD. 2 已知P为△ABC所在平面外一点，G1、G2、G3分别是△PAB、△PCB、△PAC的重心. （1）求证：平面G1G2G3∥平面ABC； （2）求S△∶S△ABC. （1）证明 如图所示，连接PG1、PG2、PG3并延长分别与边AB、BC、AC交于点D、E、F， 连接DE、EF、FD，则有PG1∶PD=2∶3， PG2∶PE=2∶3，∴G1G2∥DE. 又G1G2不在平面ABC内， ∴G1G2∥平面ABC.同理G2G3∥平面ABC. 又因为G1G2∩G2G3=G2， ∴平面G1G2G3∥平面ABC. （2）解 由（1）知=，∴G1G2=DE. 又DE=AC，∴G1G2=AC. 同理G2G3=AB，G1G3=BC. ∴△G1G2G3∽△CAB，其相似比为1∶3， ∴S△∶S△ABC=1∶9. 3如图所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC，SG为△SAB上的高， D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明. 解 SG∥平面DEF，证明如下： 方法一 连接CG交DE于点H， 如图所示. ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AB. 在△ACG中，D是AC的中点， 且DH∥AG. ∴H为CG的中点. ∴FH是△SCG的中位线， ∴FH∥SG. 又SG平面DEF，FH平面DEF， ∴SG∥平面DEF. 方法二 ∵EF为△SBC的中位线，∴EF∥SB. ∵EF平面SAB，SB平面SAB， ∴EF∥平面SAB. 同理可证，DF∥平面SAB，EF∩DF=F， ∴平面SAB∥平面DEF，又SG平面SAB， ∴SG∥平面DEF. 5如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、 C1D1、A1A的中点.求证： （1）BF∥HD1； （2）EG∥平面BB1D1D； （3）平面BDF∥平面B1D1H. 证明 （1）如图所示，取BB1的中点M，易证四边形HMC1D1是平行四边形，∴HD1∥MC1. 又∵MC1∥BF，∴BF∥HD1. （2）取BD的中点O，连接EO，D1O， 则OE DC， 又D1G DC，∴OE D1G， ∴四边形OEGD1是平行四边形， ∴GE∥D1O. 又D1O平面BB1D1D，∴EG∥平面BB1D1D. （3）由（1）知D1H∥BF，又BD∥B1D1，B1D1、HD1平面HB1D1，BF、BD平面BDF，且B1D1∩HD1=D1， DB∩BF=B，∴平面BDF∥平面B1D1H.  6如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形. （1）求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH. （2）若AB=4，CD=6，求四边形EFGH周长的取值范围. （1）证明 ∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG. ∵HG平面ABD，∴EF∥平面ABD. ∵EF平面ABC，平面ABD∩平面ABC=AB， ∴EF∥AB.∴AB∥平面EFGH. 同理可证，CD∥平面EFGH. 解 设EF=x（0＜x＜4），由于四边形EFGH为平行四边形， ∴. 则===1-. 从而FG=6-. ∴四边形EFGH的周长l=2(x+6-)=12-x. 又0＜x＜4,则有8＜l＜12, ∴四边形EFGH周长的取值范围是（8，12）. 7如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？ 解 当Q为CC1的中点时， 平面D1BQ∥平面PAO. ∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA. ∵P、O为DD1、DB的中点，∴D1B∥PO. 又PO∩PA=P，D1B∩QB=B， D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO， ∴平面D1BQ∥平面PAO. 8正方形ABCD与正方形ABE