第二章 数学基础课件.ppt

1 第二章 数学基础 2.1 位置和姿态的表示 位置描述 机器人学导论 描述一个矢量时，需要注明这个矢量是相对哪一个参考描述的。 AP表示矢量P在参考系A中的描述。 2 方位描述 机器人学导论 代表坐标系{B}的三个主轴单位矢量相对坐标系{A}的描述。 称这个矩阵为旋转矩阵。 表示系{B}到系{A}的变换。 3 旋转矩阵的意义 机器人学导论 标量rij可用{B}系三个主轴单位矢量在{A}系主轴方向上的投影的分量来表示。于是可以写成上面的形式。 两个单位矢量的点积可得到两个矢量夹角的余弦，因此R矩阵也称为方向余弦阵。 4 旋转矩阵的性质 机器人学导论 即，旋转矩阵的转置等于它的逆。 5 2.1 位置和姿态的表示 几种基本的旋转矩阵 第二章 数学基础 6 2.1 位置和姿态的表示 几种基本的旋转矩阵 第二章 数学基础 7 2.1 位置和姿态的表示 几种基本的旋转矩阵 第二章 数学基础 xA yA xB yB 8 例1 {B}系相对于{A}系绕Z轴旋转30度。 已知BP=[0, 2, 0]T, 求AP。 第二章 数学基础 xA yA xB yB 9 坐标系的描述 相对参考系，坐标系的原点位置和坐标轴的方位，分别由位置矢量和旋转矩阵描述。这样，刚体的位姿可由坐标系来描述，即有 第二章 数学基础 10 2.2 坐标变换 平移坐标变换 第二章 数学基础 11 旋转坐标变换 第二章 数学基础 12 复合变换 第二章 数学基础 实际上，复合变换可以理解为{B}系的原点处有一个与{A}系只有平移关系的{C}系。 {B} — {C} — {A} 13 2.3 齐次坐标变换 齐次变换 矩阵形式： 第二章 数学基础 14 齐次坐标 第二章 数学基础 空间某点P的直角坐标和齐次坐标 规定： 代表方向 没有意义 代表原点 15 齐次变换 矩阵 第二章 数学基础 齐次变换矩阵的物理解释： 1.齐次变换矩阵描述了坐标系{B}相对于{A}系的位置和方位； 2.齐次变换矩阵的第四列描述了{B}系的原点在{A}系中的位置。 齐次变换矩阵也代表旋转变换和平移变换的复合 16 例子： 第二章 数学基础 齐次变换矩阵如下： 17 典型的齐次坐标变换 矩阵 第二章 数学基础 18 例2 {B}系相对于{A}系绕Z轴旋转30度,沿XA平移10个单位，再沿YA平移5个单位。求齐次变换矩阵； 第二章 数学基础 19 2.4 物体的变换及逆变换 复合变换 第二章 数学基础 {A} {B} {C} CP 20 复合变换 第二章 数学基础 {A} {B} {C} CP 21 齐次变换的逆变换 第二章 数学基础 已知{B}系相对于{A}系的变换矩阵，即 的值已知。如何得到{A}系相对于{B}系的齐次变换 。 22 例3 {B}系相对于{A}系绕Z轴旋转30度,沿XA平移4个单位，再沿YA平移3个单位。求齐次变换矩阵及其逆变换 第二章 数学基础 23 2.5 变换方程 变换方程初步 要规定各种坐标系来描述机器人与环境的相对位姿关系。 位姿关系可用相应的齐次变换来描述，机器人控制和规划的目标与其他变换之间的关系可用空间尺寸链（有向变换图）来表示。 第二章 数学基础 24 变换方程初步 第二章 数学基础 {G}系两种描述为： 因此可以建立变换方程： 25 2.6 姿态的其它描述方法 已讲述了用旋转矩阵来描述姿态，但需要九个元素，比较繁琐。 第二章 数学基础 实际上旋转矩阵中只有三个独立的变量，六个约束方程是： 用什么样的三个变量来描述姿态尼？ 26 用三个变量来描述姿态 第二章 数学基础 1. X-Y-Z固定角坐标系 第一步：将{B}系与参考坐标系{A}重和。 将{B}系绕XA轴旋转γ角。 第二步：将{B}系绕YA轴旋转β角。 假设{B}系的矢量BP,第一次旋转后为： 矢量AP‘,经第二次旋转后为： 27 用三个变量来描述姿态 第二章 数学基础 1. X-Y-Z固定角坐标系 第三步：将{B}系绕ZA轴旋转α角。 矢量AP”,经第三次旋转后为： 28 用三个变量来描述姿态 第二章 数学基础 1. X-Y-Z固定角坐标系 29 三变量和旋转矩阵之间的求解 第二章 数学基础 Atan2(y,x)是反正切函数，它能根据x,y的符号判断角度的象限 30 用三个变量来描述姿态 第二章 数学基础 2. 用三个欧拉角ZYX来描述姿态 第一步：将{B}系与参考坐标系{A}重和。 将{B}系绕ZB轴旋转α