第三章__等参数单元(等参元)课件.pptVIP

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ① ② ③ ④ ξ η 1 2 3 4 5 第三次作业： 6．已知图示所示的梁,三角形单元 和八节点等参元 。求 7．求图示5节点单元的形函数。 x y ξ η 1(40,50) 2(5,40) 3(10,10) 4(30,20) 5 6 7 8 Q 8．图示为二次四边形单元，试计算 和 在自然坐标为 的点Q的数值（提示：因为单元的边是直线，可用4个节点定义单元的几何形状）。 9．二维8节点等参元，在x, y坐标中单元各边与坐标轴x, y平行，边长为a, b，确定下列载荷情况下的节点荷载。 （a）在x正方向有一分布荷载作用在ξ=1的边上，荷载在η= －1为0；在η=1为q0，呈直线变化； （b）在ξ=1的边上作用有均布荷载q0，方向压向单元； （c）在y正方向上作用有均匀的体积力b。 应该指出，用上式求解联立方程组的方法来导出式(3-21)，比较麻烦，特别是当待定系数比较多时，欲导出形函数 的显式是非常烦琐的。为了简化求导 的过程，我们可以利用 的特点来决定各结点的形函数显式。 由第二章知，各种单元的形函数 都有两个特点 时， 或 是 的二次函数；当固定 时， 或 又是 的二项函数。 1) 是形如单元位移模式的同幂次多项式，对于8结点曲边形等参元，它的 一定是局部坐标 和 的双二次多项式，固定 2) 在 结点的值为1，在其余结点 ， 根据形函数的这两个特点，先求8结点曲边四边形等参元四个角点 的形函数。对于角点1，根据第2)个特点， 在结点 的值全为零，而直线 通过 等七个结点，故这三条直线的方程分别为 同时，由 组成的函数，在 结点上的值恰好都等于零；另外，根据第1)个特点，函数 也恰好是双二次函数。因此，可设 式中 是待定常数。将1结点的局部坐标值 和 代入上式，并考虑 这一特点，可求得 同理可得 (3-22) ，于是 再来求8结点曲边四边形单元各边中点 的形函数。对于5结点，根据第2)个特点， 在 结点的值全应等于零，而直线 通过上述七点，这三条直线的方程分别为 于是，函数 在结点 上的值恰好都等于零；另外，函数 也符合 的第1)个特点。因此，可设 式中 也是待定常数。将5结点的局部坐标值 和 代入上式，并考虑 这一特点，可求得 ，于是 同理可得 (3-23) ，则可将(3-22)和(3-23)式合并成一个通式 (3-24) 如令 从式(3-24)看出， 是双二次函数 ，从而使单元任一点的位移插值函数 和 [式(3-21)]也是双二次函数：单元每一条边上的 和 是 或 的二次函数，它完全由边上的3结点的函数值唯一决定，而且在相邻两单元的公共边上，其三个结点有相同的函数值。因此，这种单元的位移插值函数 和 ，以及形函数能完全满足变形连续性条件和相容条件，结构变形后，各单元之间和每个单元都不能出现开裂和重叠现象。 由于 是双二次函数，它对结构线性函数都是精确成立的，故可用类似于4结点任意四边形等参元曾用过的方法，直接写出单元内任一点的局部坐标的线性插值式。 (3-25) 且有 以及该点的整体坐标与局部坐标之间的变换式 由于 的相容性，式(3-27)也满足相容条件。 (3-26) (3-27) 8结点曲边四边形