高等代数6.1材料.ppt

§1 集合与映射 一、集合 * * * 第六章 线性空间 §1 集合与映射 §3维数、基与坐标 §2 线性空间的定义及简单性质 §8 线性空间的同构 §4 基变换与坐标变换 §5 线性子空间 §6 子空间的交与和 §7 子空间的直和 引言 线性空间是线性代数的中心内容，它是几何空间的抽象和推广． 在解析几何中讨论的三维向量，它们的加法和数量乘法可以描述一些几何和力学问题的有关属性．为了研究一般线性方程组解的理论，我们把三维向量推广为n维向量，定义了n维向量的加法和数量乘法运算，讨论了向量空间中的向量关于线性运算的线性相关性，完满地阐明了线性方程组的解的理论． 现在把n维向量抽象成集合中的元素，撇开向量及其运算的具体含义，把集合对加法和数量乘法的封闭性及运算满足的规则抽象出来，就形成了抽象的线性空间的概念，这种抽象将使我们进一步研究的线性空间的理论可以在相当广泛的领域内得到应用．事实上，线性空间的理论与方法己渗透到自然科学与工程技术的许多领域，同时对于我们深刻理解和掌握线性方程组理论和矩阵代数也有非常重要的指导意义． 二、映射 一、集合 把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合； 常用大写字母A、B、C 等表示集合； 当a是集合A的元素时，就说a 属于A，记作： ； 当a不是集合A的元素时，就说a不属于A，记作： 1、定义 组成集合的这些事物称为集合的元素． 用小写字母a、b、c 等表示集合的元素． ☆集合的表示方法一般有两种：描述法、列举法 描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质. 列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来. 例1 例2 N＝ ， 2Z＝ M＝｛x | x具有性质P｝ M＝｛a1，a2，…，an｝ 2、集合间的关系 如果B中的每一个元素都是A中的元素，则称B是 　A的子集，记作　　　 ，（读作B包含于A） 当且仅当 空集：不含任何元素的集合，记为φ． 注意：｛φ｝≠φ 如果A、B两集合含有完全相同的元素，则称 A与 　B相等，记作A＝B . A＝B当且仅当 且 约定：空集是任意集合的子集合. 3、集合间的运算 　交：　 ； 并： 显然有， 1、证明等式: ． 证：显然， ．又 ， ∴ ， 从而, ． 练习： 故等式成立． 2、已知 ， 证明： ． 又因 ， ∴ ． 2）　 ， 但是 ， 又因 ，∴ ． 证：1） 此即， 因此无论哪一种情况，都有 . 此即， 二、映射 设M、M′是给定的两个非空集合，如果有 一个对 应法则f，通过这个法则f 对于M中的每一个元素a， 都有M′中一个唯一确定的元素a′与它对应, 则称 f 为 称 a′为 a 在映射f 下的象，而 a′ 称为a在映射f 下的 M到M′的一个映射，记作 : 　　　　 或 原象，记作f (a)＝a′ 或 1、定义 注:①设映射 , 集合 ， 称之为M在映射f下的象，通常记作 Imf． ②集合M 到M 自身的映射称为M 的一个变换． 例4　判断下列M 到M ′对应法则是否为映射 1）M＝｛a，b，c｝、M′＝｛1,2，3,4｝ σ：σ(a)＝2，σ(b)＝1，σ(c)＝2　　 δ：δ(a)＝1,δ(c)＝2,δ(c)＝3,δ(c)＝4 τ：τ(a)＝2，τ(c)＝4　　 　　　　 显然， （不是） （是） （不是） 2）M＝Z，M′＝Z＋， σ：σ(n)＝|n|, 　　　　 τ：τ(n)＝|n|＋1,　　　　　 3）M＝ ，M′＝P，（P为数域） σ：σ(A)＝|A|，