高中数学解题四大思想方法.docVIP

思想方法一、函数与方程思想 【思想方法要点】 1．在高中数学的各个部分，都有一些公式和定理，这些公式和定理本身就是一个方程，如等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等，当题目与这些问题有关时，就需要根据这些公式或者定理列方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使题目获得解决． 2．当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，利用函数的性质如单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换来探究问题的答案，例如对函数当时，就化为不等式 借助于函数的图象和性质可解决有关问题． 3．借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解． 4．许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量. 题型1 构造函数关系，利用函数性质解题 根据题设条件把所求的问题转化为对某一函数性质的讨论，从而使问题得到解决，称为构造函数解题。通过构造函数，利用函数的单调性解题，在解方程和证明不等式中最为广泛，解题思路简洁明快。 例1 （10安徽）设则的大小关系是（ ） 例2．若 则有( ) A． B． C． D． 例3 已知函数 （1） 讨论函数的单调性； （2） 证明：若则对任意 例4.已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＝ax2＋bx，其中g(x)的函数图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴． (Ⅰ)确定a与b的关系； (Ⅱ)若a≥0，试讨论函数g(x)的单调性； (Ⅲ)设斜率为k的直线与函数f(x)的图象交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)， 证明：1x2k1x1. 题型2 合理选择变量，揭示函数关系 含有多个变量的数学问题中，对变量的理解要选择更加合适的角度，先选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系，再利用函数性质解题。 例5 对于满足的实数，使恒成立的的取值范围是 . 例6 已知函数，． （1）若且，试讨论的单调性； （2）若对，总使得成立，求实数的取值范围． 题型3 变函数为方程，求解函数性质 函数与方程是密切相关的。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。 例7 函数的值域是（ ） 思想方法二、数形结合思想 【思想方法要点】 1. 数形结合的数学思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，在解选择题、填空题时发挥着奇特功效。 2.运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等价性原则，准确画出函数图象，注意函数的定义域．(2)双方性原则．(3)简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合． 3.具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围． 题型1 函数与方程与不等式问题中的数形结合 研究函数的性质可以借助于函数的图像，从函数图像上能直观地观察单调性、周期性、对称性等性质。不等式问题与函数的图像也有密切的联系，比如应用二次函数的图像解决一元二次不等式，就体现了数形结合的思想方法。因此，解决不等式问题要常联系对应的函数图像，利用函数图像，直观地得到不等式的解集，避免复杂的运算。 例1．已知0＜a＜1，则方程a|x|＝|logax|的实根个数为(　　) A．1个　　B．2个 C．3个 D．1个或2个或3个 例2已知函数若互不相等，且则的取值范围是（ ） 例3．若不等式的解集为区间且则____． 例4．已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝x2－2x＋\f(12))，若函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________________． 题型2 解析几何中的数形结合 解析几何是用方程研究曲线的问题，蕴含着丰富的数形结合思想，往往要先把题目中的几何语言转化为几何图形，然后再结合这种图形（一般为曲线）的几何特征，用代数语言即方程表现出来，从而用代数的方法解决几何问题。 例5 已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） 例6 已知为抛物线上的动点，点在轴上的射影为，点的坐标为，则的最小值是 . 例7．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1、抛物线