第4章_弹性力学广义变分原理.docVIP

第4章 弹性力学广义变分原理.1 两类变量的广义势能原理 根据前面的介绍,对于最小势能原理,我们可以有以下两种理解: (1) 自变函数为位移。要求事先满足位移边界条件 ， 上 (4.1.1) 同时要求具有足够的连续（可微）性，从而可以由下式求得应变 ， 内 (4.1.2) 这样可得到用位移表示的应变能密度函数 用位移表示的应力 在此条件下，弹性力学的精确解应该使下面的总势能取到最小值 这样，由最小势能原理可以得到应力表示的平衡方程和应力边界条件 内 上 (2) 自变函数为位移和应变，但把式(4.1.1) 、(.1.2) 看成约束条件。这样，把原问题视为在约束条件(4.1.1) 、(.1.2) 下，使得下列总势能 最小的问题。注意这里总势能表达式与最小势能原理中势能的差异。 为了解除最小势能原理中这两个约束条件，引进两个Lagrange乘子函数(向量) ， 内 ， 上 来构造一个新泛函 在新泛函中, 都是独立的自变函数，也就是说位移不需要事先满足边界约束条件（4.1.1）和应变之间也不需要满足变形协调条件（4.1.2） 在恒等式(3.2.1)中取，得到 因此有 由可以得到 ， 内 ， 内 ， 内 ， 上 ， 上 ， 上 由此得到Lagrange乘子满足 ， 内 Lagrange乘子为 上 得到Lagrange乘子函数后, 把它们再代入新泛函的表达式中,得到两类变量(位移和应变)的广义势能为 (4.1.3) 对于线弹性体有,,从而 (4.1.4) 这是关于位移和应变（两类变量）的广义势能（泛函）。 在该泛函中位移和应变是独立的自变函数, 不需要满足位移的边界条件和变形协调条件，从而使得与变分原理相对应的数值计算在处理某些特殊问题的时候变得更加简单，更加有效。 两类变量的广义势能原理(位移和应变) 弹性力学的精确解应该使得广义势能（）的泛函取驻值。 在恒等式(3.2.1)中取，得到 因此有 令,根据变分引理得到(用应变表示的应力) 内 内 上 上 也就是说得到的是变形协调条件、平衡方程和所有边界条件。再加上本构关系，就是弹性力学的所有方程。 如果用应力来替换泛函(5.1.4)中的自变函数()，得到 (4.1.5) 这是关于位移和应力(包括边界上的约束力)的两类变量广义势能泛函。上述泛函称为Hellinger-Reissner泛函，是Hellinger和Reissner分别于1953年和1954年提出来。 用位移和应力表示两类变量的广义势能原理（Hellinger-Reissner 两类变量广义变分原理） 弹性力学的精确解，应使上述广义势能的泛函（.1.5） 在恒等式（3.2.1），得到 因此有 令,根据变分引理得到 内 内 上 上 也就是说得到的是变形协调条件、平衡方程和所有边界条件，再结合本构关系，就是弹性力学的所有方程。 4.2 两类变量的广义余能原理 从前面介绍中我们知道，最小余能原理要求自变函数事先满足 ， 内 ， 上 在此条件下，弹性力学的精确解使得下面的总余能取极小值 因为要寻找满足平衡方程和应力边界条件的自变函数存在一定困难，对自变函数的约束条件使得与之相对应的数值计算变得十分麻烦。为了消除最小余能定义中应力约束条件的影响，我们引进入Lagrange乘子函数 ， 内 ， 上 来构造一个新的泛函 在新泛函中,,都是独立的自变函数。新泛函的变分为 在恒等式(3.2.1)中取， 因此 也就是说 要求，根据变分引理，可以得到 ， 在区域上 ， 在区域上 ， 在位移边界上 ， 在应力边界上 ， 在应力边界上 如果是精确解的话， ， 在区域上 ， 在位移边界上 因此，可以选择位移，在上也应该是位移。 和用位移代入到泛函的表达式中，