第4章-数值解法基础.pptVIP

7）举例 常物性，无内热源，二维稳态导热问题 A:首先写出通用微分表达式： 2、热平衡法 本章总结 重点掌握：建立节点离散方程组的原理和方法 主要内容 1 导热数值解法的基本思想 把研究对象分割为有限数目的网格单元（控制体），把原来在空间和时间上连续的物理量的场，转变为有限个离散的网格单元节点上的物理量的集合，然后用数值方法求解针对各个节点建立起来的离散方程，得到各节点上被求物理量的集合。求解过程可见下图表示 2、建立离散方程的方法 （1） 泰勒级数展开法 通过泰勒级数展开获得控制方程中各导数项的差分表达式，所略去的高阶导数项反映了截断误差的大小，该误差取决于截差阶数和网格步长。 （2） 热平衡法 假设相邻节点间的温度分布是线性的，根据傅里叶定律计算网格单元与周围网格单元之间的导热量，并考虑内热源等其它因素，列出网格单元的热平衡式。 热平衡法与建立导热微分方程一样，均利用了傅里叶定律和能量守恒定律。热平衡法与泰勒级数展开法相比，物理概念清晰，导出方便，但难以进行误差分析。因此， 工程上多采用热平衡法建立节点方程，在进行误差分析时，可以利用泰勒级数展开法。 3、稳态导热节点离散方程 （1） 内节点离散方程的建立 对于常物性，无内热源二维稳态导热问题，取均分网格，则内节点离散方程为相邻四个节点温度的平均值，即： (4-1) 如果有内热源，利用热平衡法建立离散方程较为方便。 （2） 边界节点离散方程的建立 第一类边界条件的边界节点，其节点温度直接以数值的形式参加到与边界节点相邻的内节点的离散方程中，无需再建立方程。 第二类边界条件、第三类边界条件只需将通过边界的换热量代入热平衡方程，辐射边界条件也可以用同样的方法处理。 4、非稳态导热节点离散方程 （1） 内节点离散方程 显式差分格式：温度对时间的一阶导数采用向前差分 隐式差分格式：温度对时间的一阶导数采用向后差分 （2） 边界节点离散方程 边界节点离散方程的建立方法与内节点基本相同，利用热平衡法较为方便，同样可以采用显式格式和隐式格式。 作业 2,4 * 直接解法：通过有限次运算获得代数方程精确解; 矩阵求逆、高斯消元法 迭代解法：先对要计算的场作出假设、在迭代计算过程中不断予以改进、直到计算结果与假定值的结果相差小于允许值。称迭代计算已经收敛。 缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性问题（若物性为温度的函数，节点温度差分方程中的系数不再是常数，而是温度的函数。这些系数在计算过程中要相应地不断更新） 迭代解法有多种：简单迭代（Jacobi迭代）、高斯-赛德尔迭代、块迭代、交替方向迭代等 * 第三节 非稳态导热的数值计算 1. 显式差分格式 2）物体温度沿x方向变化，物体在x方向被分割为n段，所取步长Δx ，其中第i个节点坐标为iΔx ，简记为i。 3）物体中温度随时间变化，所取时间间隔步长Δτ，其中第k个节点坐标为kΔτ，简记为k。 表示物体中kΔτ时刻，iΔx位置处温度： 1）导热微分方程式—常物性，无内热源，一维，非稳态 * 4）内节点（i， k）温度对x的二阶导数， 采用中心差分表达式应为： 5）温度对时间的一阶导数，取向前差分： 6）将4）与5）带入1)的非稳态导热方程 7）内节点在计算时刻节点温度的差分方程 代入上式得： * 由初始时刻(τ=0)的温度 算出1Δτ时刻的温度 由1Δτ的温度,算出2Δτ时刻的温度 依次进行，就可算出各时刻的温度—显式差分格式 …………………………………………………………………….. 由k时刻的温度,算出k+1时刻的温度 8）分析 * 9）限制条件——为保证数值计算的稳定性，必须有 的系数为正 若 的系数为负，不同时刻的温度计算会出现波动，见书上第95页例题。所以Δx、Δτ的选择不能任意，必须考虑稳定性。 导热数值求解 的基本过程 第四章　导热问题的数值解法 * 思考题： 1.节点的概念. 2.向前差分, 先后差分, 中心差分的概念. 3.利用能量守恒定律和傅立叶定律, 推导内点和边界. 点离散方程的基本方法. 4.两个导热系数不同的物体紧紧贴在一起, 不计接触 热阻, 如何推导接触面上节点离散方程. 5.显式差分方程及稳定性判据. 上海交通大学 * 第四章　导