数学物理方程试题1..DOCVIP

数学物理方程考点 分离变量法：知识点见课本 1.已知初边值问题： 求此问题的固有函数（特征函数）与固有值（特征值）； 求此初边值问题的解。 解：（1）令 （1.1），其中不恒零，将其代入方程得到： 将该式分离变量并令比值为有： 则有： （1.2） （1.3） 由原初边值问题的边界条件知： 方程（1.3）满足边界条件 （1.4） 当时，方程（1.3）的通解为 ，由边界条件（1.4）知： 由（1.1）知：，应舍去； 当时，方程（1.3）的通解为 ，由边界条件（1.4）知： 同理应舍去； 当0时，则方程的通解为： 由边界条件知： 即 又由　知： ，　令，则 　即　　，所以固有值为　 将其代入通解中，得到固有函数： （２）将固有值代入方程（1.2），可得到此方程的通解： 　　 　 则原初边值问题的形式解为 ： 　　　则： 由初始条件　，　知：　 　　　 原初边值问题的解为： 特殊方程的边界齐次化：知识点见 2.已知初边值问题： 将此定解问题的边界齐次化。 解：令　　（1），则，，故原初边值问题等价于 　　　　　　　　　　　（I） 将定解问题（I）边界齐次化，即令 将代入（I），则可得到边界齐次化后的初边值问题为： （II） 然后用分离变量法求初边值问题（II）得到，将其代入（1）式即可求出。 能量不等式证明解的唯一性：知识点见 3.证明方程的初边值问题解的唯一性。 四、格林函数： 6.写出格林函数公式及满足的条件，并解释其物理意义。 解：（1）格林函数公式（三维）为： G（M，M）=— g（M，M） 其中函数g满足的条件为： 式中为区域的边界曲面 （2）格林函数的物理意义：在某个闭合导电曲面内M点处放一个单位正电荷，则有它在该导电曲面内一点M处产生的电势为（不考虑电介常数），将此闭合导电曲面接地，又静电平衡理论，则M将在该导电曲面上产生负感应电荷，其在M处的电势 — g（M，M），并且导电面上的电势恒等于0，即有= 一.填空 1. 函数（）称为二维拉普拉斯方程的基本解。 2.利用调和函数的（p93,极值）原理，容易证明狄利克雷问题解的唯一性。 3.利用静电源镜像法容易求得上半空间的格林函数为（），其中为上半空间的点，为关于平面的对称点。 二. 求解问题 答(p56习题二，1（3）)：用分离变量法.() 特征值和特征函数分别为 结果为 三、 用固有函数法求解 答（p58习题二10(3)）:固有函数系为， (先考律齐次方程，在考虑非其次方程) 结果为 五. (10分)用积分变换法求解问题（已知傅氏逆变换）。 答（p85习题三9,类似p74例1）： ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 无限长弦的一般强迫振动定解问题 解 三维空间的自由振动的波动方程定解问题 在球坐标变换 (r=at) 无界三维空间自由振动的泊松公式 二维空间的自由振动的波动方程定解问题 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 三个格林公式 第一格林公式：设u(x,y,z),V(x,y,z)在S?SV上有一阶连续偏导数，它们在V中有二阶偏导，则： 第二格林公式：设u(x,y,z),V(x,y,z)在S?SV上有一阶连续偏导数，它们在V中有二阶偏导，则： 第三格林公式 设M0，M是V中的点，v(M)=1/rMM0, u(x,y,z)满足第一格林公式条件，则有： 定理1：泊松方程洛平问题 的解为： 调和函数 1、定义：如果函数u(x,y,z)满足:(1) 在具有二阶连续偏导数；(2) 称u为V上的调和函数。 2、调和函数的性质。 性质1 设 u(x,y,z) 是区域 V 上的调和函数，则有 推论2：拉氏牛曼问题（牛曼问题解不稳定没有得到公式解）有解的充分必要条件是： 性质2 设u(x,y,z) 是区域V上的调和函数，则有 : 性质3 : 设u(x,y,z)是区域V 上的调和函数，则在球心的值等于它在球面上的算术平均值，即: 其中SR是以M0为球心,R为半径的球面 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 三维空间中狄氏问题格林函数 泊松方程狄氏问题为： 其中： 如果G(M,M0)满足： 则可得泊松方程狄氏解定理 定理：泊松方程狄氏解为： 其中G(M