4.2-4.3 一阶线性方程.PPTVIP

§4.2 一阶线性方程 一阶线性方程 形如 一阶线性微分方程的标准形式: 上述方程称为齐次的. 上述方程称为非齐次的. 例如 线性的; 非线性的. 齐次方程的通解为 1. 线性齐次方程 一阶线性微分方程的解法 (使用分离变量法) 用常数变易法求非齐次方程 的通解 作变换 积分得 一阶线性非齐次微分方程的通解为: 非齐次方程特解 对应齐次方程通解 解 例1 例2 如图所示，平行于 轴的动直线被曲线 两边求导得 解 解此微分方程 截下的线段PQ之 长数值上等于阴影部分的 面积, 求曲线 . 所求曲线为 伯努利(Bernoulli)方程的标准形式 方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程. 二、伯努利方程 求出通解后，将 代入即得 代入上式 解 例 4 练习 例5 求微分方程的通解 解 所求通解为 =1 解法2 代入原式 分离变量法得 所求通解为 解法1 例7 解 原式可化为 原式变为 一阶线性非齐方程 伯努利方程 §4.3 可降阶的高阶微分方程 … 解法： 一、 例1 求微分方程 解 对给定的方程连续积分三次，得 解 代入原方程 解线性方程, 得 两端积分,得 原方程通解为 例 2 二、 型 （不显含变量 y ） 解法 例3 求微分方程 满足初始条件 的特解. * *