李雅普洛夫稳定性分析课件.ppt

李亚普洛夫稳定性分析 系统运动稳定性的实质：自治系统平衡状态的稳定性。 它是偏离平衡状态的受扰运动能否仅依靠系统内部的结 构因素使之限制在平衡状态的有限领域内或使之最终返回 到平衡状态——系统偏差量过渡过程的收敛性。 2.2 状态向量范数 符号 称为向量的范数， 为状态向量端点至平衡状态向量端点的范数，其几何意义为“状态偏差向量”的空间距离的尺度，其定义式为： 3 李雅普诺夫判稳第一方法 李氏第一法判稳思路： （间接法） 1、线性定常系统－特征值判断 2、非线性系统－首先线性化，然后用线性化系统的特征值判断 令ΔX=X – Xe， 4 李雅普诺夫判稳第二方法 4 李雅普诺夫判稳第二方法 1）如果系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即 。那么随着系统的运动，其贮存的能量将随时间增长而衰减，直至趋于平衡状态而能量趋于极小值。 2 ）实际系统很难找到一个统一的能量函数。 3 ）虚 构一个广义能量函数，称为李雅普诺夫函数（李氏函数），根据它和它的一阶导数的正负来判断系统稳定性。 4）第二法判稳的过程，只要找到一个正定的标量函数 ，而 是负定的，这个系统就是稳定的。而 就是李氏函数。 判据1：设系统的状态方程为 为其平衡状态， 如果有连续一阶偏导数的标量函数 存在，并且满足以下条件： 1） 是正定的。 2） 是负定的。 则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果随着 ，有 ，则原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 判据2：设系统的状态方程为 为其唯一的平衡状态， 如果有连续一阶偏导数的标量函数 存在，并且满足以下条件： 1） 是正定的。 2） 是半负定的。 3）对任意初始时刻 时的任意状态 ，在 时，除了在 时有 外， 不恒等于零。则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果随着 ，有 ，则原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 5.1 线性定常连续系统的稳定性分析 目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 的稳定性 祝 各位同学工作学习开心！ 4.3 二次型标量函数XTPX 如果 ，则称P为实对称矩阵。 1、二次型函数V(x)： 1）二次型 为正定，或实对称矩阵P为正定的充要条件是P的所有主子行列式均为正，即： 则P为正定，即V(x)正定。 如果 2）二次型 为负定，或实对称阵P为负定的充要条件是P的主子行列式满足 ； （ i为偶数）i=1，2，3，…,n。 2、二次型函数V(x)正(负)定性判定：赛尔维斯特判据 说明：判据1是充分条件，判稳过程是寻找李氏函数V(x)，如果没找到，不能判断系统不稳定，只是可能还没有找到而已。 4.4 稳定性判据 说明： 恒等于零意味着运动轨迹是某个特定的曲面 。 不恒等于零意味着仅在某个特定时刻，在某个点上和某个特定的曲面相切。 判据3：设系统状态方程为： 为其平衡状态。如果存在一个标量函数 ，它具有连续的一阶偏函数，且满足下列条件： 在原点的某一邻域内是正定的， 在同样的邻域内是正定的， 则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。 令 ，得 是系统唯一的平衡状态。 2）选取李氏函数 选