青海大学-化工应用数学-第五章 偏微分方程与特殊函数2.pptVIP

* * 5.4.1 初始条件（初值条件） 对于随着时间而发生变化的问题，必须考虑研究对象的初始时刻的状态，即初始条件。 凡泛定方程中只含t的一阶偏导数的只需要一个初始条件，u的初始分布。 泛定方程中含有t的二阶偏导数的则需要两个初始条件，初始分布和初始速度。 初始条件给出了整个系统的状态（t=0）。稳态过程因与t无关，则不存在初始条件 * * 5.4.2 边界条件 (1) 第一边界条件——已知函数 直接给出在边界上的值（s—Γ上的动点） 如弦振动 ，长为 的弦两端固定，则边界条件为： （2）第二类边界条件——已知导数 一维热传导（杆的导热），设杆的一端x＝a绝热，则由外到内经过杆端的热量流速为零 * * 因K，S是常数，故 对于二维、三维应以边界的外法向导数表述 5.4.2 边界条件 （2）第二类边界条件——已知导数 （3）第三类边界条件——混合边界条件 给出边界上函数值与其法向导数构成的线性关系。如一维导热，杆端x=a处自由冷却，环境介质温度为u0 ，则 * * （3）第三类边界条件——混合边界条件 杆端散发出的热流效率与端点温度与介质温度之差成正比,可改写 5.4.2 边界条件 对于长为 的杆两端自由冷却 第三类边界条件的一般形式 * * 5.5 线性迭加原理 在讲如何用分离变量法求解偏微分方程的定解问题前，先介绍一下线性偏微分方程解的迭加原理。 定义线性偏微分算子L为 线性偏微分方程的一般形式 齐次线性偏微分方程 * * 设函数 是齐次线性偏微分方程 的特解，若级数 可逐项求偏微分，则该级数也是齐次线性偏微分方程 的解。 5.5 线性迭加原理 线性迭加原理 * * 5.6 分离变量法 对于多个自变量的偏微分方程定解问题的求解，在可能的情况下，我们总设法使自变量的个数减少。分离变量法就是基于这种想法产生的。 分离变量法也叫傅立叶方法，它利用变量分离形式的解法，将求解偏微分方程的定解问题化为求解常微分方程的固有值问题，步骤是先找出一些满足边界条件的特解，然后利用迭加原理，作出这些解的线性组合，从而得到定解问题的解答。 分离变量法对定解条件尤其是边界条件的要求比较苛刻，一般只涉及较为规则的边界问题。下面通过各种例题来介绍分离变量法的具体应用。 * * 5.6 分离变量法 例 这是齐次方程，齐次边界条件的定解问题。 解: u(x,t)是其一个解函数。 假设函数可以表示为各个自变量单元函数的乘积，代入方程后可分离为各自变量的常微分方程。 设u(x,t)=X(x)T(t)，X(x)-x的函数，T(t)-t的函数 化工应用数学 第五章 * * * 第五章 偏微分方程与特殊函数 5.1 引言 5.2 偏微分方程的分类 5.3 典型方程的建立及其解法 5.4 定解条件和定解问题 5.5 线性叠加原理 5.6 分离变量法 * * 5.1 引言 5.1.1 偏微分方程的定义 描述物理量在