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* 对于荷载级数中的 项的特解为 § 2.5 对周期荷载的响应 2、对傅立叶级数荷载的响应 对于荷载级数中的正弦项，其稳态响应为： 级数项中包含常量荷载 与一系列频率为 ，幅值为 和 的简谐荷载。 * 无阻尼体系总的响应用对应于荷载级数每一项的单独响应的总和来表示，即: § 2.5 对周期荷载的响应 对于荷载级数中的余弦项，其稳态响应为: 式中的荷载幅值系数由傅立叶级数表达式给出。 对于荷载级数中的正弦项，其稳态响应为： * 周期荷载下有阻尼单自由度结构的动力响应 仅需用方程中的稳态响应表达式代替上述所利用的无阻尼响应表达式即可。 总的稳态响应为： § 2.5 对周期荷载的响应 * 例 设外载为一周期矩形波如下图所示，试求无阻尼体系在这种外荷载作用下的响应。 § 2.5 对周期荷载的响应 将 简写为T。由于 为奇函数，将 写成: 解：外荷载的数学描述： 因此： * § 2.5 对周期荷载的响应 无阻尼体系，分量 的稳态解的振动微分方程为： 令稳态解的形式为： 将各个分量的稳态解叠加后，可得最后总的动力响应为： 得 当 ， 时，发生共振。 * 3、傅立叶级数的复数形式 将外荷载展开成以复数形式表示的傅立叶级数： § 2.5 对周期荷载的响应 先求对于 项的稳态解，然后通过叠加即可得最后的稳态解结果。 运动微分方程： 令其稳态解的形式为： 得： * § 2.5 对周期荷载的响应 令 ，记： ， 称为复频响应函数或频响函数（frequency response function） 复频响应函数或频响函数与单位脉冲（unit impulse）响应函数构成一个傅立叶变换对，这两个函数在动力问题的频域分析中起着重要作用。 * § 2.5 对周期荷载的响应 稳态解的复数表达形式： 其中： * §2.6对冲击荷载的响应 对承受冲击荷载的结构来说，与承受周期荷载或简谐荷载的结构相比，在控制结构的最大响应中，阻尼并不显得太重要，因为在冲击荷载作用下，结构的最大响应将在很短的时间内达到，而在这之前，阻尼力还来不及从结构中吸取较多的能量。 冲击荷载：一般由一个单独的主要脉冲组成，持续时间很短。 仅讨论冲击荷载下体系的无阻尼响应。 * 1.正弦波脉冲 体系在一个半正弦波脉冲作用下，振动过程分为两个阶段： §2.6对冲击荷载的响应 第一阶段:相当于荷载作用期间内的响应， 第二阶段:则为随后发生的自由振动阶段。 阶段Ⅰ： 振动响应的表达式为： 结构承受简谐荷载，从静止开始运动，包含瞬态和稳态的无阻尼响应。 * 没有外加荷载，结构作自由振动，这时的响应可用无阻尼体系自由振动响应来表示，其初始条件为阶段Ⅰ最终时刻的位移和速度： §2.6对冲击荷载的响应 阶段II： 当 时，即 时，第II阶段结构的动力响应为: * 冲击荷载产生的动力响应的大小，依赖于荷载持续时间与结构振动周期之比。 §2.6对冲击荷载的响应 于是: 将方程对时间求导并令其等于零，确定出现响应峰值的时刻，即： 考虑 及初始条件,有: * 不适应于n=0即共振的情况， 因此在上式中取负号及n=1，有: §2.6对冲击荷载的响应 表达式仅在 时才是正确的， 最大响应出现在冲击荷载作用时间内。 方程 * §2.6对冲击荷载的响应 最大响应幅值： 这个结果仅在假定 时才是正确的，即： 在 情况下上述结论才可适用。 当 时，最大响应出现在自由振动阶段，即第Ⅱ阶段内。 第Ⅱ阶段结构的动力响应为： 自由振动的幅值为 ： * §2.6对冲击荷载的响应 自由振动的动力系数： 当 时，自由振动的动力系数为: * 1）分析阶跃荷载作用下的动力响应: 2、矩形冲击荷载 （a)矩形冲击荷载 （b）阶跃荷载(突加荷载） §2.6对冲击荷载的响应 振动微分方程: 方程的特解为: 齐次解为: * §2.6对冲击荷载的响应 振动方程的解： 当