常微分第三章第3节.pptVIP

* 常微分方程 Ordinary?Differential?Equations 主讲教师： 孙书荣 Instructor: Shurong Sun §3.3 解对初值的连续性和可微性定理 考察 的解 对初值的一些基本性质 解对初值的连续性 解对初值和参数的连续性 解对初值的可微性 内容: y x G 图例分析(见右) 解可看成是关于 的三元函数 满足 1 解对初值的对称性: 前提 解存在唯一 Q:当初值发生变化时,对应的解是如何变化的? 当初始值微小变动时,方程的解变化是否也是很小呢？ 例: 初值问题的解不单依赖于自变量 , 同时也依赖于初值 . 初值变动,相应的初值问题的解也将随之变动. ………… 按解的存在范围是否有限,又分成下面两个问题: Q1: 解在某有限闭区间[a,b]上有定义,讨论初值 的 微小变化对解的影响情况,称为解对初值的连续性.内容 包括:当初值发生小的变化时,所得到的解是否仍在[a,b] 上有定义以及解在整个区间[a,b]上是否也变化很小? Q2: 解在某个无限闭区间 上有定义,讨论初值 的微小变化是否仍有解在 上有定义,且解在整个 区间 上变化也很小?这种问题称为解的稳定性 问题,将在第六章中讨论. 2 解对初值的连续依赖性 引理 如果函数 于某域G内连续，且关于 y 满足利普希茨条件（利普希茨常数为L），则对方程 的任 意两个解 及 ,在它们的公共存在区间内成立着不 等式 .其中 为所考虑 区间内的某一值。 证： 设 在[a, b] 上均有定义。 令 则 当 时， 2 解对初值的连续依赖性 引理1 (Bellman不等式) 设 为闭区间[a,b]上的非负连续函数, 若存在 ,对任意的 ,使得 则对任意的 , 此结论为习题3.1第6题Gronwall不等式的特殊情况! 引理2 如果函数 于某域G内连续，且关于 y 满足利普希茨条件（利普希茨常数为L），则对方程 的任 意两个解 及 ,在它们的公共存在区间内成立着不 等式 .其中 为所考虑 区间内的某一值。 定义 设 令 则称 为 之间的距离。 定理1 (解对初值的连续依赖性定理) 条件: I. 在G内连续且关于 满足局部L-条件; II. 是(1)过点 的解,定义 区间为[a,b]. 结论: 对 , 使得当 时,方程(1)过点 的解 在[a,b]上也有 定义,且 方程 0 思路分析： 记积分曲线段S： 显然S是xy平面上的有界闭集. 第一步:找区域D,使 ,且 在D上满足Lips.条件. y x G (见下图) 由已知条件,对 ,存在以它为中心的圆 ,使 在其内满足Lips.条件,利普希茨常数为 .根据有限 覆盖定理,存在N,当 时,有 对 ,记 则以 为半径的圆,当其圆心从S的 左端点沿S 运动到右端点时,扫过 的区域即为符合条件的要找区域D b a 0 0 第二步:证明 在[a,b]上有定义. 证 事实上，由于 是一个有界闭域，且 于其内关于 满足利普希茨条件， 知，解 必能延拓到区域 的边界上。 的边界上的点为 和 ， ，则必有 否则设 。 ，由引理2就有 ， 由延拓定理 设它在 因为 连续， 存在 ， ，当 时有 取 ，则当 时，就有 所以对 (*) ， 特别地有 ， 于是 对一切 成立， 即点 及 均落在域 而不可能位于 的内部， 的边界上,这与假设矛盾, 上有定义。 因此,解 在区间 在不等式(*)中将区间 换成 可知，当 ， 时就有 ， 证毕。 第三步:证明 在不等式(*)中将区间[c,d] 换成[a,b]即得. ? 根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性,