垂直于弦的直径.pptVIP

24.1.2 垂直于弦的直径 灵井镇一中 王蔓 创设情境 提出问题 观察下列几个图形，它们有什么共同点？ 用什么方法可以判断图形是轴对称图形呢？ 把一个圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　 ●O 合作交流 探索新知 合作交流 探索新知 思考 如何证明这一结论呢？ 要证圆是轴对称图形，只需证明圆 上任意一点关于直径所在直线的对 称点也在圆上。 合作交流 探索新知 如图，CD是⊙O的任意一条直径，A是 ⊙O上C、D以外的任意一点。 作AB⊥CD ，交⊙O于点B，垂足为E． 求证：AE=BE. 证明：连接OA、OB，在△OAB中， ∵OA=OB ∴ △OAB是等腰三角形 又∵AB⊥CD ∴AE=BE · O A B C D E 合作交流 探索新知 如图∵ CD是直径，CD⊥AB, ∴AE=BE, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. · O A B C D E 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 垂径定理： 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. ●O A B C D E└ 条件 CD为直径 CD⊥AB CD平分弧ADB CD平分弦AB CD平分弧ACB 结论 合作交流 探索新知 应用：1、证线段相等 2、证弧长相等 注意：垂直于弦的“直径”，也可以是半径，只需是过圆心的线段即可。 判断下列图形，能否使用垂径定理？ 注意：定理中的两个条件（过圆心的线段，垂直于弦）缺一不可！ 例题引入 运用新知 例1 如图在⊙O中，若弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。 A B O E 解：连结OA，作OE⊥AB于点E， 则OE＝3cm，AE＝BE. ∵AB＝8cm ∴AE＝4cm 在RtAOE中，据勾股定理,得OA＝5cm ∴⊙O的半径为5cm。 注意：圆心到弦的距离叫弦心距. 转化思想 例2 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证：AC＝BD。 例题引入 运用新知 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 ∴ AE－CE＝BE－DE 即 AC＝BD E 总结方法 总结方法 灵活解题 解决有关弦的问题时，经常过圆心作弦的垂线段，为应用垂径定理创造条件。 圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，利用勾股定理来解决。 . A B O E . A C D B O 垂径定理应用的几个基本图形 合作交流 探索新知 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE （1）CD⊥AB吗？为什么？ （2）AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ · O A B C D E 合作交流 探索新知 · O A B C D E 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论 ∵CD是直径， AE=BE ∴ CD⊥AB，AC =BC,AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 拓展：知二推三 反馈练习 加深理解 1、判断： ⑴垂径定理：垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ） (2)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ） (3)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ） 错 错 对 赵州桥原名安济桥，俗称大石桥，我国隋代工匠李春建造的，至今已有1400年的历史，也是今天世界上最古老的石拱桥。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，它的结构是当时世界桥梁界的首创，称得上是隋唐时代石雕艺术的精品。这充分显示了我国古代劳动人民勤劳与智慧。1991年被列为世界文化遗产。 问题 ：赵州桥的主桥拱是圆弧形（如图），它的跨度（弧所对的弦长）为37米，拱高（弧的中点到弦的距离，）为7.23米。求赵州桥主桥拱的半径是多少？（结果保留小数点后一位。） 2、赵洲桥的半径是多少？ 反馈练习 加深理解 2、赵洲桥的半径是多少？ 如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R．过圆心O 作弦AB 的垂线OC，垂足为D，OC与AB 相交于点D，根据垂径定理，D 是AB 的中点，C是AB的中点，CD 就是拱高．AB=37.4米，CD=7.2米 B O D A C R ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 小结升华 布置作业 本节课你有什么收获？ 知识、方法、思想 还有什么疑问？ 作业： 课本 P89 ：