D2_4隐函数与参数方程求导31021089.pptVIP

内容小结 1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导 2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法 极坐标方程求导 4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式 对 t 求导 相关变化率之间的关系式 思考与练习 1. 求螺线 在对应于 的点处的切线方程. 解: 化为参数方程 当 时对应点 斜率 切线方程为 2. 设 由方程 确定 , 解: 方程两边对 求导, 得 (A) 再求导, 得 (B) 当 时, 故由(A) 得 再代入(B) 得 求 3. 设 求 分别用对数微分法求 答案: 作业: 第三节 隐函数和参数方程求导 相关变化率 一. 隐函数的导数 若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 . 隐函数求导方法 两边对 x 求导 (含导数 的方程) 此函数为隐函数 . 则称 例1. 求由方程 确定的隐函数 在 x = 0 处的导数 解: 方程两边对 x 求导 得 因 x = 0 时 y = 0 , 故 例2. 求椭圆 在点 处的切线方程. 解: 椭圆方程两边对 x 求导 故切线方程为 即 例4 解 例5. 求 的导数 . 解: 两边取对数 , 化为隐式 两边对 x 求导 1) 对幂指函数 可用对数求导法求导: 说明: 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式 2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如, 两边取对数 两边对 x 求导 又如, 对 x 求导 两边取对数 二. 由参数方程确定的函数的导数 若参数方程 可确定一个 y 与 x 之间的 可导, 且 则 时, 有 时, 有 ( 此时看成 x 是 y 的函数 ) 函数关系, 例7 解 所求切线方程为 例8. 设由方程 确定函数 求 解: 方程组两边对 t 求导 , 得 故 例9. 求参数方程 所表示的函数 的二阶导数. 解: 已知 则 .. . . .. . 例8 解 所求切线方程为 例9 解 三. 相关变化率 为两可导函数 之间有联系 之间也有联系 称为相关变化率 相关变化率问题解法: 找出相关变量的关系式 对 t 求导 得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率 例10 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上 升, 其速率为 当气球高度为500m时, 观察 员视线的仰角增加率是多少? 解: 设气球上升t 分后其高度为h , 仰角为 则 两边对 t 求导 已知 h = 500m 时, 思考题: 当气球升至500m 时, 有一观测者以 的速率向气球出发点走来, 当距离为500m 时, 仰角的增加率是多少? 提示: 对 t 求导 已知 , 求 例11 有一底半径为 R 厘米,高为 h 厘米的圆锥容器, 今以 自顶部向容器内注水, 试求当容器 内水位等于锥高的一半时水面上升的速度. 解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x , 体体积为 V , 则 两边对 t 求导 而 当 时 故 水