D5_3-2全微分.pptVIP

由上可知，当f 在点 x0 处可微时，f 在x0 处沿任意l 二元函数在一点处的全微分不仅与 f 在该点处的各个偏导数有关，还与各自变量的改变量△x,△y有关. 2. 设 * 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 二、全微分在近似计算中的应用 应用 一元函数 y = f (x) 的微分 近似计算 估计误差 本节内容: 一、全微分的定义 3.2 全微分 一、全微分的定义 定义3.3: 如果函数 z = f ( x, y )在点( x0 , y0 )的某邻域内 可以表示为 ,函数f 在 有定义.如果对于 ( x0 , y0 )处的改变量 其中 不依赖于? x , ? y , 仅与 x0 , y0 有关，则称 f ( x, y ) 在点( x0, y0) 可微，并称 为函数f 在点 (x0, y0) 的全微分, 记作 由上述定义知,当 充分小且 不全为零时,全微分 就是函数 f 在(x0,y0)处改变量的线性主部. 问题： 1. f在什么条件下可微？ 2. 当f可微时， 代表什么？ 3. 如何计算全微分？ 4. 函数的可微性与连续性及方向导数之间又有什么关系？ 定理3.1(可微的必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点 (x0, y0) 可微 ,则 (1) f 在(x0, y0)处连续； (2) f 在(x0, y0)处沿任意l 方向的方向导数均存在， 特别的，f 在 (x0, y0)处的两个偏导数均存在，且有 及 其中 是 l 方向上的单位向量. 证 (1) 当f 在点(x0, y0) 可微时, 故 或 成立, 所以 f 在(x0, y0)处连续； (2)由可微的定义,有 取 则有 ,及 于是由方向导数的定义式有 方向的方向导数均存在.特别地，f 在x0 处的两个偏导数均存在.当 分别取(1,0)和(0,1)时，由上式可得 于是由全微分定义，定理得证！ 函数 z =f (x, y) 在点 x0= (x0 , y0) 可微 如果f 在区域 的每一点均可微，则称 f 是 内的可微函数.此时全微分可简记为df 或 dz，其计算公式为 可微与偏导数的关系（1）: 函数可微 偏导数存在 例3.1 f在原点处两个偏导数 都存在，但是在原点 却不连续，故不可微！ 例3.4 讨论函数 在点O(0,0)处的连续性与可微性. 易见f在点(0,0)处连续.再由偏导数的定义，可得 证 由 故f在点(0,0)处的两个偏导数均存在. 例3.4 讨论函数 在点O(0,0)处的连续性与可微性. 证 因此,函数在点 (0,0) 不可微 . 定理3.2 (充分条件) 若函数 的所有偏导数均 在点 的某一邻域内存在,且所有偏导数均在 处连续，则f在 处可微. 可微与偏导数的关系（2）: 偏导数连续 函数可微 例 在点 (0,0) 处可微， 但偏导数在点 (0,0) 不连续. 函数 析 易求得 ,因此 有 当 f 不在点(0,0) 处时，有 由于 而 不存在， 所以 在点(0,0)处间断，同理 也在点(0,0)间断. 故f 在点 (0,0) 处可微。 例3.5 计算函数 在点 (0,1) 处当 解: 时的改变量 及全微分 例3.6 计算函数 的全微分. 解: n元函数的全微分 设n元函数 在点 的邻域 内有定义，如果 ， 存在一组与 无关的常数 使得 函数f 在x0 处的改变量 可表示为 其中 是当 时关于 的高阶无穷小，则称 f 在 点 x0 处可微，且称关于 的线性函数 为f 在 点 x0 处的全微分，记为 ，或 ，即 同二元函数一样，常记