数学第五讲轴对称与几何最短问题.docxVIP

第五讲轴对称与几何最短问题轴对称图形：如果沿某条直线对折，对折的两部分能够完全重合，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴；注：轴对称图形是“一个图形”【轴对称、轴对称图形和对称轴】（一）相关概念1、相轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形的对应点叫做对称点。注：轴对称是指“两个图形”2、轴对称的性质：a：关于某直线对称的两个图形是全等形；b：对称点的连线被对称轴垂直平分；c：轴对称的两个图形，它们的对应线段或延长线相交，交点在对称轴上。（二）有关性质3、垂直平分线的定义以及性质：（1）定义：垂直并且平分线段的直线叫做这条线段的垂直平分线或中垂线；（2）性质：①线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；②和一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。*线段是轴对称图形，它的对称轴是它的垂直平分线。4、角平分线的定义及性质：（1）定义：从角的顶点出发并且平分这个角的射线称为这个角的角平分线（2）性质：①角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；②到角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上。 *角是轴对称图形，它的对称轴是它的角平分线。线段的垂直平分线及最短距离一、填空题1．经过_____并且_____的_____ 叫做线段的垂直平分线．2．线段的垂直平分线有如下性质：线段的垂直平分线上的_____与这条线段_____的_____相等．3．线段的垂直平分线的判定，由于与一条线段两个端点距离相等的点在_____，并且两点确定_____，所以，如果两点M、N分别与线段AB两个端点的距离相等，那么直线MN是_____．4．完成下列各命题：（1）线段垂直平分线上的点，与这条线段的_____；（2）与一条线段两个端点距离相等的点，在_____；（3）不在线段垂直平分线上的点，与这条线段的_____；（4）与一条线段两个端点距离不相等的点，_____；（5）综上所述，线段的垂直平分线是_____的集合．5．若P是线段AB的垂直平分线上的任意一点，则（1）ΔPAC≌_____；（2）PA＝_____；（3）∠APC＝_____；（4）∠A＝_____．6．ΔABC中，若AB－AC＝2cm，BC的垂直平分线交AB于D点，且ΔACD的周长为14cm，则AB＝_____，AC_____.7．ΔABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点．（1）若∠A＝35°，则∠BPC＝_____；（2）若AB＝5 cm，BC＝3 cm，则ΔPBC的周长＝_____．一、解答题8．已知：如图线段AB．求作：线段AB的垂直平分线MN．作法：9．已知：如图∠ABC及两点M、N．求作：点P，使得PM＝PN，且P点到∠ABC两边的距离相等．作法：拓展、探究、思考10．已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等．如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．轴对称变换及最短问题一、填空题1．由一个_____得到它的_____叫做轴对称变换．2．如果由一个平面图形得到它关于某一条直线l的对称图形，那么，（1）这个图形与原图形的_____完全一样；（2）新图形上的每一点，都是_____；（3）连接任意一对对应点的线段被_____．3．由于几何图形都可以看成是由点组成的，因此，要作一个平面图形的轴对称图形，可归结为作该图形上的这些点关于对称轴的______．二、解答题4．试分别作出已知图形关于给定直线l的对称图形．5．已知平行四边形ABCD及对角线BD，求作ΔBCD关于直线BD的对称图形．（不要求写作法）6．已知长方形纸片ABCD中，沿着直线EF折叠，求作四边形EFCD关于直线EF的对称图形．（不要求写作法）7．已知：如图A、B两点在直线l的同侧，点A与A关于直线l对称，连接AB交l于P点，若AB＝a.（1）求AP＋PB；（2）若点M是直线l上异于P点的任意一点，求证：AM＋MB＞AP＋PB．8．已知：A、B两点在直线l的同侧，试分别画出符合条件的点M．（1）在l上求作一点M，使得｜AM－BM｜最小；作法：（2）在l上求作一点M，使得｜AM－BM｜最大；作法：（3）在l上求作一点M，使得AM＋BM最小．10．（1）点A、B、C在直线l的同侧，在直线l上，求作一点P，使得四边形APBC的周长最小；（2）已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上，求作两点P、Q（点P在点Q的左侧）且PQ＝a，四边形APQB的周长最小．11．（1）已知：点M在锐角∠AOB的内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使得ΔPMQ的周长最小；（2）已知：点M在锐角∠AOB