admaths1-1.pptVIP

Advanced Mathematics (Calculus) 高等数学 (微积分) 微积分是人们用以处理函数的那些计算规则的汇集. 集合: 具有某个共同属性的对象的全体. 构成这个集合的每一对象称为该集合的元素. 一、集合与区间 常用的数集: N----自然数集 Z----整数集 Q----有理数集 R----实数集 每个元素都是数的集合称为数集. 第一节 函数的概念 区间和邻域 {x| axb}称为开区间, 记作(a, b) {x| a?x?b}称为闭区间, 记作[a, b] 有限区间 {x| a?xb}和{x| ax?b}都称为半开半闭区间, 分别记作[a, b)和(a, b] 设a和b都是实数, 且ab 数b?a称为上述这些区间的长度. 无限区间(无穷区间) (a, +?)={x| xa}, [a, +?)={x| x?a}, (??, a)={x| xa}, (??, a]={x| x?a}, (??, +?)={x| ??x+?}=R 引进记号??(读作正无穷大)及??(读作负无穷大) 邻域: 记为 点a的去心? 邻域, 设a与?是两个实数, 且?0. 数集{x| |x?a|?}称为点a的?邻域, 记为U(a, ?), 点a叫做这邻域的中心, ?叫做这邻域的半径. 二、函数的概念 定义 设x和y是两个变量, D是一个给定的数集, 如果对于每个数x?D, 变量y按照一定的法则f总有确定的数值和它对应, 则称y是x的函数, 记为y=f(x). 数集D称为这个函数的定义域, x称为自变量, y称为因变量. 当x0?D时, 称f(x0)为函数在点x0处的函数值. 函数值全体组成的数集W={y| y=f(x), x?D}称为函数的值域. 如果自变量在定义域内任取一个数值时, 对应的函数值总是唯一确定的, 这种函数叫做单值函数,否则叫做多值函数. 多值函数举例: 例如, x2 + y2 = 1 我们通常讨论单值函数, 如不作特殊说明, 函数都是指单值函数. 自变量 因变量 对应法则f 函数的两要素: 定义域与对应法则. 约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数. 例1 求函数 的定义域. 例2 下列各对函数是否相同？为什么？ (1) 符号函数 几个特殊函数的例子: 1 ?1 x y o x=|x|?sgn x或|x|=x?sgn x (2) 取整函数 y=[x] [x]表示不超过 x 的最大整数 1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -3 x y o 阶梯曲线 有理数点 无理数点 ? 1 x y o (3) 狄利克雷函数 例3 已知函数 在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的式子来表示的函数, 称为分段函数. 一、函数的单调性 第二节 函数的基本性质 定义1 设函数f(x)的定义域为D, 区间I?D, 若对于I上任意两点x1及x2, 当x1x2时, 恒有 (1) f(x1) f(x2), 则称函数f(x)在I上是单调增加的. (2) f(x1) f(x2), 则称函数f(x)在I上是单调减少的. 例1 证明:函数f(x)=x5在(??, +?)上是单调增加的. 二、函数的有界性 定义2 设函数f(x)的定义域为D, 数集X? D. 如果存在正数M, 使得|f(x)|? M对任一x?X都成立, 则称函数f(x)在X上有界. 否则称f(x)在X上无界. 例2 说明函数 f(x)=1/x 在(1, 2)上有界, 但在(0, 1)上无界. 三、函数的奇偶性 定义3 设有函数y=f(x), 其定义域D关于原点O 对称, 那么 (1) 若对任何x∈D, 恒有f(?x)=f(x), 则称f(x)为偶函数. (2) 若对任何x∈D, 恒有f(?x)= ?f(x), 则称f(x)为奇函数. 注: (I) 偶?偶=偶, 奇?奇=偶, 奇?偶=奇, 奇±奇=奇, 偶±偶=偶. (II) 奇函数的图形关于原点对称, 偶函数的图形关于y轴对称. 例3 设函数f(x)的定义域为(?l, l), 证明必存在(?l, l)上的偶函数g(x)及奇函数h(x), 使得f(x)=g(x)+h(x). 四、函数的周期性 定义4 设有函数y=f(x), 其定义域为D, 如果存在 一个不为零的常数l, 使得对于任一x∈D, 都有 (x±l)∈D,