9-1 多元函数的基本概念.pptVIP

第九章 多元函数微分学 1. 多元函数的基本概念 2. 偏导数 3. 全微分及其应用 4. 复合函数微分法 5. 隐函数微分法 6. 微分法在几何上的应用 7. 方向导数与梯度 8. 多元函数的极值及其求法 基本要求 1、理解多元函数的概念，了解二元函数的极限、连续性等概念及有界闭域上连续函数的性质； 2、理解偏导数、高阶偏导数和全微分的概念，了解偏导数的几何意义、全微分存在的充分和必要条件和高阶混合偏导数与求导次序无关的条件； 3、掌握多元复合函数的求导法则，会求隐函数（包含由方程组确定的隐函数）的偏导数； 基本要求（续） 4、理解多元函数的极值和条件极值的概念，会求多元函数极值、最值，熟悉条件极值与拉格朗日乘数法； 5、熟悉空间曲线的切线方程、法平面方程的求法，熟悉曲面的切平面方程和法线方程的求法； 一、平面区域的概念 四、二元函数的极限 定义 设二元函数 领域内有定义, 如果 则称 在点 的某一 在点 处连续. 如果 在点 处不连续, 则称 在 处间断. 例如, 对函数 从例6知道, 函数在 点的极限不存在, 五、二元函数的连续性 从例6知道, 函数在 点的极限不存在, 所以, 在 点处都不连续, 即在 点处 间断. 在原点处没 有确定的值 * 主 要 内 容 （1）邻域 第一节 多元函数的基本概念 （2）区域 例如， 即为开集． 如果存在点P的某个邻域U(P)? 使得U(P)?E??? 则称P为E的外点? 连通的开集称为区域或开区域． 例如， 例如， 开区域 闭区域 ? ? ? ? 是有界闭区域； 是无界开区域． 例如， （3）聚点 1. 内点一定是聚点； 说明： 2.边界点可能是聚点； 例 (0,0)既是边界点也是聚点． 3. 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E． 例如, (0,0) 是聚点但不属于集合． 例如, 边界上的点都是聚点也都属于集合． 二、n维空间的概念 (1) 数轴上的点与实数一一对应, 实数的全体记为 (2) 平面上的点与有序数组 一一对应, 有序数 组 的全体记为 (3) 空间中的点与有序数组 一一对应, 有序数组 的全体记为 于是, 这里 就分别对应于数轴、 平面和空间. 一般地, 设 为取定的一个自然数, 元有序实数组 的全体为 维空间, 记为 我们称 而每个 元有序数组 维空间的概念 元有序实数组 的全体为 维空间, 记为 而每个 元有序数组 称为 维空间的点, 中的点 有时 也用单个字母 来表示, 即 数 称为点 的第 个坐标. 当所有的 都为零时, 这个点称为 的坐标原点, 记为 维空间 中两点 之间的距离, 规定为 和 维空间的概念 之间的距离, 规定为 显然, 时, 上述规定与数轴上、 坐标系及空间直角坐标系中 平面直角 前面就平面点集所叙述的一系列概念, 可推广到 中去. 例如, 设点 是某一正数, 间内的点集 则 维空 两点间的距离一致. 维空间的概念 间内的点集 就称为 中点 的 领域. 以领域为基础, 进一步定义点集的内点、外点、边界点和聚点, 可以 以及开集、闭集、区域等一系列概念. 定义 设 是平面上的一个非空点集, 如果对于 内的任一点 按照某种法则 都有唯一确定 的实数 与之对应, 则称 是 上的二元函数, 它 即 其中 称为自变量, 称为因变量. 该函数的定义域, 数集 称为该函数的值域. 处的函数值记为 在 点集 称为 三、二元函数概念 （1）二元函数的定义 如果一个用算式表示的函数 则该函数的定义域理解为 没有明确指出定义域, 使算式有意义的所有点 所成的集合, 自然定义域. 类似地, 可定义三元及三元以上的函数. 当 时, 元函数统称为多元函数. 称为 注: 关于二元函数的定义域, 我们仍作如下约定: 例1 求 的定义域． 解 所求定义域为 例2 已知函数 求 解 设 则 故得 即有 （2） 二元函数 的几何意义 （如下页图） 二元函数的图形通常是一张曲面. 例如, 图形如右图. 例如, 左图球面. 单值分支: 或f(P)?A(P?P0)? 也记作 说明： （1）定义中 的方式是任意的； （2）二元函数的极限也叫二重极限 （3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似． 例3 求证 证 当 时， 原