平稳时间序列概述.docVIP

《时间序列分析》课程作业 韩二东 2010489 说明：由于我自己在《时间序列分析》这门课上花费的时间实在有限，也写不出什么像样的东西来，也只能对其中的平稳时间序列部分做些总结。望允。 赵老师 亲启 2011年6月25日 平稳时间序列概述 1 时间序列的基本概念 从统计意义上讲, 时间序列就是将某一个指标在不同时间上的不同数值, 按照时间的先后顺序排列而成的数列. 数列由于受到各种偶然因素的影响, 往往表现出某种随机性, 之间存在着统计上的依赖关系. 中表示时间, 示时间上发生的事件的数据表示形式, 表示时间序列. 一个时间序列的未来值是完全确定的, 被某一数学函数严格确定, 为确定性时间序列.一个时间序列未来值是不确定的, 只能用概率分布来加以描述, 为随机时间序列. 我们所说的时间序列分析主要是分析随机时间序列. 在许多情况下, 时间序列指的是随机时间序列, 它是一类特殊的随机过程. 下面介绍随机时序分析的有关概念. 定义1 若对于每一个特定的（是一个无穷集合，称为参数集), 是一个随机变量, 则称这一族无穷多个随机变量时是一个随机过程[1]. 定义2 随机过程, 如果是由一个不相关的随机变量序列构成, 即对于所有, 随机变量和的协方差均为常数, 则称其为纯随机过程. 对于一个纯随机过程来说, 若其期望和方差均为常数, 则称之为白噪声过程. 定义3 统计特性不随时间的平移而变化的过程, 称之为平稳过程. 当把条件适当放宽时, 便得到了宽平稳随机过程. 定义如下: 若随机过程的均值和协方差存在，且满足 (1) (2) 则称为宽平稳随机过程, 为的协差函数. 可见, 宽平稳性指的是和之间的协方差仅与这两个观测值的时间间隔长度有关, 而与观察值的时期无关, 不满足上述条件之一的过程就是非平稳过程. 2 平稳时间序列分析 2.1 ARMA模型的基本理论 ARMA模型是一种常用的随机时序模型, 由博克斯(Box), 詹金斯(Jenkins)创立, 亦称B-J方法。它是一种精度较高的时序短期预测方法, 其基本思想是: 除极个别的情况外, 几乎所有的时间序列中按照时间顺序排列的观察值之间具有依赖关系或自相关性，这种自相关性体现了变量发展的连续性, 所以, 一旦时间序列的这种自相关性被各种方式定量描述出来, 就可以根据时间序列的过去值预测其将来值. 因此, 随时间变化而又相互关联的数字序列, 可以用相应的数学模型加以近似描述, 并通过对相应数学模型的分析研究, 认识动态数据的内在结构和复杂特性, 从而达到最小方差意义下的最佳预测. 运用模型的前提条件是, 用来建立模型的时间序列是一个零均值的平稳随机过程, 即AR九例模型只适用于对平稳时间序列的描述, 但不要求是严平稳序列, 宽平稳即可. 2.2 ARMA模型的基本类型 ARMA模型有三种基本类型:自回归模型(AR, Autoregressive Models), 移动平均模型(MA, Moving Average Models), 自回归移动平均模型(ARMA Auto-regressive Moving Average Models). (1) 自回归AR(p)模型 如果时间序列是它的前p期值和随机项的线性函数, 即 则称该时间序列是自回归序列, 上式为p阶自回归模型, 记为AR(p). 其中: --当前的预测值, 与自身过去观测值是同一序列的不同时刻的随机变量,相互间有线性相关关系, 也反映了时间之后关系: --模型的阶次即滞后期. 描述了系统的动态记忆性, 即当前的预测值只与前p期的历史观测值相关, 而与p期以前的观测值无线性相关关系; 一自回归系数, 也称为记忆函数, 描述了对的影响程度, 它们是模型的待估参数. 一随机干扰误差项, 假设它是相互独立的白噪声序列, 且服从均值为. 方差为的正态分布. 与滞后变量不相关. 设为步滞后算子, 即, 则模型可表示为 令, 则模型可简写为 (2) 移动平均MA(q)模型 如果时间序列是它的当期和前q期的随机误差项的线性函数, 即 则称该时间序列是移动平均序列, 上式为q阶自回归模型, 记为MA(q). 参数为移动平均系数, 是模型的待估参数. 引入滞后算子, 并令, 则模型可简写为 (3) 自回归移动平均ARMA(p, q)模型 如果时间序列是它的前p期值及当期和前q期的随机误差项的线性函数, 即 则称该时间序列是自回归移动平均序列, 上式为阶自回归模型, 记为ARMA(p, q),参数, 为自回归系数, 为移动平均系数, 都是模型的待估参数. 引入滞后算子, 则模型可简写为 2.3 ARMA模型的特性分析 由文献[2],[3],[4], 平稳性和可逆性是讨论上述三种模型