定积分换元法和分部积分法.pptVIP

第三节 一、定积分的换元法 说明: 课堂练习 2. 设 二、定积分的分部积分法 小 结 作业 证明2 左端= 证明3 设 则 所以 又因 例6 证明定积分公式 为正偶数 为大于1的正奇数 证 设 积分 关于下标的递推公式 直到下标减到0或1为止 于是 例7 设 解 例8 设f（x）连续，计算 解 （1）令x+t=u，则dt=du （2） 内容小结 基本积分法 换元积分法 分部积分法 换元必换限 配元不换限 边积边代限 第五章 * 二、定积分的分部积分法 不定积分 一、定积分的换元法 换元积分法 分部积分法 定积分 换元积分法 分部积分法 定积分的换元法和 分部积分法 第五章 定理1. 设函数 函数 满足: 1) 2) 在 上 证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 , 且它们的原函数也存在 . 是 的原函数 , 因此有 则 则 连续，且 1) 当? ? , 即区间换为 定理 1 仍成立 . 2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 . 3) 换元公式也可反过来使用 , 即 或配元 元不变 限不变 例1 计算 解 令 第五章 例2 计算 解 第五章 例3 计算 解 原式 第五章 例4 计算 解 令 原式 第五章 例5：证明 证明： 代入即可。 第五章 由此可知, ① ② 偶倍奇零 奇函数 例6 计算 解 原式 偶函数 单位圆的面积 第五章 第五章 例7 设函数 解1 所以 第五章 解2 令x-2=t，有 第五章 例8 计算积分 解 （1）当 时 （2）当 时 （3）当 证 （1）设 第五章 （2）设 第五章 例10 证明下列等式： 证明:（1）等式两边被积函数相同，应从积分区间入手，设 第五章 对等式右端第二个积分设 所以原式成立. 第五章 例11 是连续函数且为奇函数，证明 是偶函数； 是连续函数且为偶函数，证明 是奇函数。 证明：令 对 设t=-u有 即 证毕. 1. 2. 设 3. 证明 是以? 为周期的函数. 课堂练习提示 1. 提示: 令 则 解法1 解法2 对已知等式两边求导, 思考: 若改题为 提示: 两边求导, 得 得 3. 证明 证： 是以? 为周期的函数. 是以? 为周期的周期函数. 定积分的分部积分公式 推导 例1 计算 解 令 则 例2 计算 解 例3 计算 解 例4 设 求 解 例5 设f（x）在积分区间上连续，证明： 证明1： 用分部积分法