【初数】2016几何专题课程(共9讲)_第02讲_截长补短类辅助线作法.docx

截长补短类辅助线作法知识点：“截长”就是将三条线段中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段的数量关系；“补短”就是将三条线段中一条已知的较短的线段延长至与另一条已知的较短的长度相等，然后证明延长后的线段与最长的已知线段的数量关系核心考点：1、利用截长补短构造辅助线解决线段之间的数量关系问题方法点拨：1、截长补短类辅助线解决的一般是三条线段之间的数量关系问题，特别要注意线段前系数不是“1”的时候，一般会涉及到含特殊角的直角三角形2、具体在利用截长或者补短构造辅助线时要结合题目条件选择恰当的方法，并不是所有题目截长和补短都可以例题精讲：截长补短类辅助线作法1、如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．2、已知：如图，△ABC中，，BD平分∠ABC，BC上有动点P．（1）DP⊥BC时（如图1），求证：；（2）DP平分∠BDC时（如图2），BD、CD、CP三者有何数量关系？3、已知中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明．4、（2014初二上期末昌平区）如图，AD是△ABC的角平分线，点F，E分别在边AC，AB上，且．（1）求证：；（2）如果，探究线段AE，AF，FD之间满足的等量关系，并证明．5、如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．6、如图所示，已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且．求证：．8、五边形ABCDE中，，，，求证：AD平分∠CDE．9、如图，在△ABC中，，D是三角形外一点，且，．求证：12、（2012初二上期中北达资源中学）（1）如图，四边形ABPC中，，，，求证：．（2）如图，四边形ABCD中，，，P为四边形ABCD内一点，且，求证：．14、（2013中考朝阳二模）在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得，连接AG．（1）如图1，当EF与AB相交时，若，求证：；（2）如图2，当EF与AB相交时，若，请你直接写出线段EG、AG、BG之间的数量关系（用含α的式子表示）； （3）如图3，当EF与CD相交时，且，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．图1图2图31、已知等腰，，的平分线交于，则．2、已知：如图，是正方形，，求证：．3、（2015中考顺义一模）如图，△ABC中，，点P是三角形右外一点，且．（1）如图1，若，点P恰巧在∠ABC的平分线上，，求PB的长；（2）如图2，若，探究PA，PB，PC的数量关系，并证明；（3）如图3，若，请直接写出PA，PB，PC的数量关系．【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）【解析】（1）∵，，∴△ABC是等边三角形，，∴，又∵点P恰巧在∠ABC的平分线上，∴∴．∴，∵，∴．（2）结论：．证明：在BP上截取PD，使，连结AD．∵，∴△ADP是等边三角形，∴，∴，，又∵，∴△ABD≌△ACP，∴，∴．（3）结论：．课后作业1、如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上．求证：．【答案】见解析【解析】在BC上截取，连接EF∵BE平分∠ABC，∴又∵，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴．∵AB//CD，∴∵，∴又∵，CE平分∠BCD，∴△DCE≌△FCE（AAS），∴∴．2、（2013黑龙江龙东地区中考）正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．【答案】见解析【解析】（1）证明：如图，过点B作BG⊥OE于G，则四边形BGEF是矩形，∴EF=BG，BF=GE，在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，∵BG⊥OE，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG，∵在△AOE和△OBG中，，∴△AOE≌△OBG（AAS），∴OG=AE，OE=BG，∵AF-EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE-GE=OE-BF，∴AF-OE=OE-BF，∴AF+BF=2OE；（2）图2结论：AF-BF=2OE，图3结论：BF-AF=2OE．对图2证明：过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，则四边形BGEF是矩形，∴EF=BG，BF=GE，在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，∵BG⊥OE，∴∠OBG+∠BOE=90°，