有关极限概念学习方法的思考.docVIP

有关极限概念学习方法的思考摘要：极限概念及思想方法是学习微积分的重点和难点，本文从发展史、描述性定义、语言定义及理解、思想方法几方面给出了学习指导.关键词：极限概念；思想方法；数列；函数中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）10-0198-02极限概念是高等数学体系的基础，极限概念还体现了一些很重要的哲学思想和数学思想.极限概念是学生学习高等数学所面临的第一道关，此时的学生正处于从初等数学向高等数学过渡的阶段.学生的辩证思维还没有建立起来，所以学习时很难掌握极限概念的本质，难以从有限认识无限，从近似认识精确，从量变认识质变.怎么准确理解和掌握极限概念及其思想方法呢？本文从极限学习的角度出发，有针对性地给出了极限概念学习的指导.一、了解极限发展的历史，激发兴趣人类历史上极限概念从萌芽、产生、发展到完善经历了漫长曲折的演变历程.在我国《庄子?天下篇》中记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；刘徽的《九章算术注》中也有记载，这些都是极限思想的雏形.在西方极限的萌芽则体现在芝诺悖论上，这些虽是哲学命题，但却对极限思想的发展产生了至深至远的影响.17世纪英国的牛顿和法国的莱布尼兹创立了微积分.在建立微积分的过程中必然要涉及极限概念，最初的极限概念是十分含糊不清的，并且在某些关键处常常不能自圆其说，引起18世纪许多人对微积分的攻击.英国哲学家伯克莱嘲笑“无穷小瞬‘o’是消失的量的幽灵”.他还说牛顿的无穷小一会儿是零，一会儿又不是零，简直是“瞪着眼睛说瞎话”.这些攻击引发了第二次数学危机.在此阶段并没有把极限概念作为微积分的基础概念，反而认为无穷小和无穷大是问题的关键，把无穷小作为微积分的基础概念.连大名鼎鼎的牛顿都是用无穷小来定义极限，他称无穷小为瞬“o”.到19世纪，极限概念才第一次比较完整地被法国数学家柯西在《分析教程》中提出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫所有其他值的极限值.”柯西的定义摆脱了长期以来的几何说明，并引入“lim”来表示极限.但他的定义中还保留着“无限趋近”、“要多小就多小”等描述性词语，并没有达到彻底严密化的程度.直到德国数学家魏尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义，这个定义借助不等式，定量地、具体地刻画了两个“无限过程”之间的联系.叙述中只是用到了存在、任取等词语，已经摆脱了“趋近”一词，排除了直观描述性痕迹，给微积分提供了严格的理论基础，这个定义至今仍在使用.二、从直观上感性认识数列极限的描述性定义前面提到“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，意思是一尺的棰，每天取前一天剩下的一半，则永远也取不完.每天取下的长度为：■，■，■，…，■…可以看成是一个无穷数列，通项为x■=■.当项数N越来越大，没有终止，即无限增大时，■越来越无限地变小，并且越来越接近常数0.这样我们就得到了数列极限的描述性定义：给定数列{a■}，如果当项数无限增大时，x■无限接近于一个常数a，那么我们就称为趋于无穷大时数列的极限，记为：■x■=a三、从描述性定义到“ε-N”语言定义在描述性定义中，“当项数n无限增大”和“x■无限接近于一个常数a”都是描述性词语，如何把他们用数学的语言即“ε-N”语言表述出来呢？问题的关键是如何用数学的语言表达出两个无限过程，即x■与常数a的无限接近和项数的无限增大.1.x■无限接近于一个常a.首先解决用什么量来度量x■与a的接近程度.两个事物距离大则远离，距离小则接近，所以x■与a的接近程度用x■与a的距离|x■-a|来描述.其次要解决如何保证x■与a的接近程度是无限接近.两个事物所谓无限接近即他们的距离可以达到任意的小，要想多小都可以.我们采用任给一个正数ε（ε要想多小都可以），只要|x■-a|比ε还小，即|x■-a|0，|x■-a|ε.2.项数n无限增大.数列的一般项x■与a的接近程度是有前提条件的，并不是要求数列的所有项都满足？坌ε0，|x■-a|N时.综上我们就得到了数列极限概念的“ε-N”语言定义：■x■=a？圳？坌ε0，？埚正整数N，当nN时，|x■-a|ε.四、“ε-N”语言定义的理解在理解“ε-N”语言定义时，关键是理解ε和n这两个量.1.ε的理解。定义中的■具有任意性又有确定性，它深刻反映了静与动、不变与变、有限与无限的对立统一.所谓任意性是指在描述x■与a的接近程度时，它可以任意取值，要多小都可以.正是因为ε的任意性才能刻画出x■与a的无限接近.ε既然具有任意性，那又如何去理解它的确定性呢？所谓确定性是相对于求满足条件|x■-a|ε的N而言，任意给一个值ε，去求满足条件|x■-a|ε的N时，ε就视为确定值.这就是的ε二重性，即变与不变性.2.N的理解.对N的理解要把握住两点，即N的存在性和不唯一性