第30讲 简单的不定方程.docVIP

第30讲 简单的不定方程 算术给予我们一个用之不尽的、充满有趣真理的宝库，这些真理不是孤立的，而是以相互最密切的关系并立着，而且随着科学的每一成功的进展，我们不断地发展这些真理之间的新的、完全以外的接触点。 ——高斯 知识方法扫描 当未知数的个数多于方程的个数时，这个方程或方程组就叫做不定方程或不定方程组。 一般来说，不定方程（组）有无数解，但是在一个具体的问题中，它的符合题目条件的解（例如非负整数解）往往是有限的。利用初中数学的知识，我们可以求出某些不定方程的解来。 对于二次不定方程，常通过因式分解和质因数分解转化为方程组来求解。 对于某些不定方程，特别是某些分式不定方程，可以从分析未知数的取值范围入手，利用不等式的性质来确定未知数的值。 经典例题解析 例1．（第十届“缙云杯”初中数学邀请赛初赛试题）现将若干个零件放入至10个盒子内, 要求每个盒子装的零件个数相同, 如果每盒装12个, 结果剩下一个零件未装；如果再增加3个盒子, 所有的零件恰好分装在各个盒子内. 问原有多少个盒子？多少个零件？ 解 设原有x个盒子, y个零件, 增加3个盒子后, 每个盒子装a个零件, 根据题意, 得 消去y, 得：(a－12)x＝1－3a. 显然a≠12, 这是因为若a＝12, 则①、②矛盾. 所以 x＝， 即 x＝ 由于a, x都是正整数, 因此a只能为11, 7, 5, 此时x分别为32, 4, 2. 但x≥10, 则只取a＝11, x＝32. 于是可得 y＝12x＋1＝385. 答：原有32个盒子, 385个零件. 例2．（2007年山东省初中数学竞赛试题）某校一间宿舍里有若干名学生，其中一人任舍长，元旦时，该宿舍里的每名学生互赠一张贺卡，并且每人又赠给宿舍管理员一张贺卡，每位宿舍管理员也回赠给舍长一张贺卡，用去了51张贺卡，问这间宿舍里住有多少名学生？ 解 设这间宿舍里共有x名学生，宿舍楼共有y名管理员（x，y是正整数）依题意有 x(x-1)+xy+y=51 , 因为y 是整数，所以（x+1）是 49 的约数，它可等于±1，±7，±49： x+1 -49 -7 -1 1 7 49 x -50 -8 -2 0 6 48 y 51 3 -45 51 3 -45 因为x, y 是正整数，仅 x=6, y=3 符合题意。所以这间宿舍里住有6名学生。 例3．（第18届“迎春杯”数学竞赛试题） 在3和5之间插入6、30、20这三个正整数, 得到3、6、30、20、5这样一串数. 其中每相邻两个数的和可以整除它们的积(例如, 3+6＝9, 9可以整数3×6；再如, 6+30＝36, 36可以整除6×30). 请你在4与3这两个数之间的三个括号中各填一个正整数, 使得其中每相邻两个数的和可以整除它们的积. 4, ( ), ( ), ( ), 3 解：设4, (x),(y),(z), 3.依题意, 我们有4x=n(4+x)(其中n为正整数). 解出(其中4－n是正整数),经检验, 当n=2时，x=4；当n=3时, x=12. 类似地, 我们有3z=m(3+z)(其中m是正整数), 解出 (其中3-m是正整数), 经检验, 仅当m=2时,z=6 于是可以得出4,4,(y),6,3或4, 12, (y), 6, 3. 同理可以得出三组解：(4, 4, 12, 6, 3)或(4, 12, 12, 6, 3)或(4, 12, 6, 6, 3). 例4．（1997年湖北荆州市初中数学竞赛试题）用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地, 选用边长为x厘米规格的地砖, 恰需n块；若选用边长为y厘米规格的地砖, 则要比前一种刚好多有124块, 已知x, y, n都是整数, 且x, y互质, 试问这块地有多少平方米？ 解 设这块地的面积为S, 则 S＝nx2＝(n＋124)y2 即 n (x2－y2)＝124y2 因为x, y, z, n都是自然数, 所以x＞y, 且124y2被x2－y2整除. 又x, y互质, 则x2, y2互质, 从而x2－y2, y2互质. 故124被(x2－y2)整除. 由于124＝22×31, x2－y2＝(x－y) (x＋y), 注意到xI＋y与x－y具有相同的奇偶性, 且x＋y＞x－y＞0. 因此 因为x, y互质, 所以x＝16, y＝15. 于是 所以 S＝ 答：这块地有23.04m2 例5．（1990年第1届“希望杯”